Zaverecne prace
My former and current students
- Stepan Hudecek, Spectrum of symplectic Dirac operator on Grassmannian Gr_2(C^4), 2022, mgr. [14]
- Dominik Stejskal, Moufangove rovina (plane) a spinove grupy, 2022, bc. [13]
Doplnen dukaz z Harveyho a clanku [Franek, Tucek, Pazourek v CMUC].
- Stepan Hudecek (Ph.D. studies in Canberra), Symetrie a separace na příkladě Laplaceova operátoru v nízkých dimenzích, 2019, bc.
[12]
- David Kokoska (Ph.D. studies at Acad. Sci. Czechia), Integrabilita v Hamiltonove mechanice, 2019, bc. [11]
- Marian Poppr (Ph.D. studies of geometry, Germany), Prostorove formy, 2018, bc. [10]
(Small mistake, MP insisted that a 'field along a curve' on a manifold
is a vector field on this manifold; just replace his definition of 'field along a curve' by the standard one, and "everything" works.)
- Jan Kucharik, Variacni pocet ve fyzice, 2016, bc. [9]
- Marie Holikova, roz. Dostalova, Symplectic spin geometry, 2016, phd. [8]
- Jiri Narozny (Ph.D. studies at Charles U. in Prague), Dynamika a diferenciani geometrie, 2015, bc. [7]
- Lada Peksova (financial bussiness), Kvantova logika a projektivni geometrie, 2013, bc., [6]
- Marie Dostalova, Twistorovy operator v symplekticke spin geometrii, 2011, mgr., [5]
- Milan Vankat (lyceum teacher), Lorentzova grupa a spinory, 2011, bc., [4]
- Pavel Hajek (University Augsburg), Setrvacniky (spinning tops) v R^4, 2011, bc., [3]
- Marie Dostalova (lyceum teacher), Projektivni oktonionova rovina a nedesarguesovskost, 2009, bc., [2]
- Karel Pazourek (lyceum teacher), Kontaktni geometrie typu F_4, 2007, mgr., [1]
Temata zaverecnych praci obecne
1. Symplekticka spinorova geometrie (dipl, diz)
Symplekticka varieta je analogii Riemannovy nebo pseudoriemannovy variety. Namisto symetricke nedegenerovane formy je uvazovana uzavrena nedegenereovana antisymetricka.
V obdobnem smyslu je
symplekticka spinorova geometrie analogii Riemannovy ci pseudoriemannovy spinorove.
(Symplekticke variety jsou modely tzv. fazovych prostoru, tj. prostoru stavu klasickych systemu (relativistickych nebo nerelativistickych, avsak nekvantovych systemu),
na nichz jsou definovany pohybove rovnice, tzv. Hamiltonovy rovnice,
coz jsou soustavy linearnich ODR 1. radu.
Resenimi techto rovnic se zabyva matematicka Hamiltonova mechanika.)
Symplekticke variete lze priradit (komplexni) symplekticky spinorovy bandl pomoci (komplexni) metaplekticke reprezentace zkonstruovane
I. Segalem a D. Shalem (v ramci matematickeho kvantovani klasickych Klein-Gordonovych poli) a Andre Weilem pri studiu teta-funkci.
Jde o unitarni reprezentaci souvisleho dvojiteho nakryti symplekticke grupy, tzv. metaplekticke grupy. Symplekticka grupa je grupa linearnich zobrazeni
zachovavajicich antisymetrickou nedegenerovanou bilinearni formu
na vektorovem prostoru konecne dimenze. (Takove formy se nazyvaji symplekticke formy.)
Unitarni znamena, ze jde o homomofizmus do grupy unitarnich operatoru nejakeho
Hilbertova prostoru. Tento homomorfizmus je spojity v silne operatorove, nikoliv nutne normove, topologii.
Smerem ke globalni analyze lze zkoumat
A-Hilbertovy moduly, A-Fredholomy operatory, A-elipticitu nebo A-Hodgeovu teorii pro tyto struktury, kde
A je vhodna (nekomutativni) C*-algebra.
Lze se zabyvat, do jake miry popsana situace spada do "zobecnene"
K- ci KK-teorie. (K-teorie jsou zobecnene kohomologicke teorie, definovane A. Grothendieckem.
V ramci diferencialni geometrie a teorie reprezentaci lze zkoumat
symplektickou Diracovu rovnici, definovanou Habermannovou, symplekticka Killingova a twistorova pole a jejich spektralni vlastnosti, napr. pro homogenni nebo
symetricke prostory.
V ramci deformacniho kvantovani a homotopicke algebry tato teorie poskytuje priklady.
2. Vyjimecne grupy a vyjimecne geometrie (bc, dipl)
Studuji se zejmena projektivni roviny, kde neplati tzv. Desarguesuv axiomu. (Jde o historicky-vyznamove podobny vyrok v projektivni geometrii
jakou je 5. postulat, tj. postulat o rovnobezkach
v geometrii Eukleidove.)
Existuji modely projektivnich rovin, kde Desarguesuv axiom neplati.
Modely (axiomatickych systemu) projektivnich prostoru jsou casto realizovany pomoci Lieovych grup. Lze zkoumat platnost Bezoutovy vety ve
vyjimecnych rovinach ci
loopizace Bezoutovy vety. Kvantova logika, myslime "libovolnou" kvantovou logiku iniciovana "von Neumannem a Birkhoffem", i souvisejici vyjimecne roviny jsou modelovany
jsou modelovany pomoci objetku souvisejicich s Jordanovymi algebrami, jako jsou vyjimecne grupy E6, E8, G2 ci F4.
3. Integrabilita Lagrangeovy a Hamiltonovy mechaniky (bc, dipl)
Predmetem zajmu je Liouvilleova--Arnoldova veta o integrabilite (pad v tihovem poli, setrvacnik Lagrangeuv a Kovalevske, ci Henonuv-Heilsuv system)
ci momentova zobrazeni (veta Noetherove), nebo Galoisova aritmeticka integrabilita pro telesa funkci, popr.
a stabilita momentoveho bandlu (Hitchin).
Rozvrstevni slozitosti praci.
O tematech nemusite vedet temer nic. Pokud mozne, tak Vam je vysvetlim a zaklady naucim.
Staci zajem, pile a odhodlani studovat. Jde take o typ prace.
Pri dizertaci je treba doshanout puvodnich (dosud nepublikovanych) vysledku,
coz by mela byt do jiste miry pravda i u praci diplomove, byt i diplomova prace
muze byt i jen pokrocilou resersi, pri niz ilustrujete teorii pomoci prikladu nebo dodelate ci zprehlednite
dukazy nekterych vet. Puvodnost se nepredpoklada u prace bakalarske -
lze se naucit nove tema/partii, udelat syntetickou resersi, spocist ilustrativni nebo dosud nereseny priklad, ci odvodit drobne odvozeni, pripadne zprehlednit nebo dodelat dukaz.
Originalitu ani bakalarske prace vsak nevylucujeme.
Globalni popis temat mnou vypsanych v SIS. Je vsak mozne se domluvit i na jinych.
- Symplekticke operatory Diracova nebo twistoroveho typu na symetrickych prostorech, symplekticke Killingovy spinory a dalsi.
Jde o "pocitaci" diplomku ci slusnou dizertaci na spektra operatoru pomoci teorie reprezentaci.
Dozvite mnoho ze soucasne diferencialni geometrie a tzv. globalni analyze
- Geometricke kvantovani jednoduchych systemu a metaplekticke korekce (symplekticke spinory).
Vite, ze hamiltonian kubicky v hybnostech nelze konzistentne nakvantovat pomoci kanonickeho, tzv. Heisenbergova, kvantovani? Jde o tzv.
Groenewalduv-van Hoveuvuv no-go teorem. Jedna z mala no-go vet v teoreticke fyzice opravdu presne matematicky a navic elementarne dokazana.
Tento typ geometrickeho kvantovani a jeho deformaci vymyslel B. Kostant, nebot pomoci symplektickych spinoru lze provest jeste korekci teto deformace.
- Analyticke a homologicke aspekty K-teorie v diferencialni geometrii. Homologie studuje retezcove komplexy.
V analytickem pristupu jde o to, strukturu homologii popsat i analyticky, zejmena topologicky.
V diferencialni geometrii jsou diferencialy (zobrazeni v retezci) diferencialni operatory,
jako napr. deRhameovy nebo Dolbeaultovy diferencialy, popr. twistorove operatory
v pripade Einsteinovych variet (:=Ricciho tenzorove pole je konstanta krat Riemannova metrika).
Otazkou je, jak homologie vypovidaji o geometricke strukture (zejmena topologii variety) a dalsi je,? jak ji reprezentovat.
K-teorie dava ramec, jak diferencialni a analyticke aspekty spojovat popripade
a usporadat. Aplikace v jinych oblastech matematiky stoji za to.
- dizertace, diplomka