Matematicka analyza I ZS

Organizacni zalezitosti vc. informaci pro stud. komb. stud., prubehu zkousky a hodnoceni

Obsah prednasky vc. sylabu, akt. probranych temat a literatury

Cviceni obecne informace a informace o mem cviceni,

Pokrocile partie teorie grup pro fyziky

Prednaska je urecena predevsim pro studenty teoreticke a jaderne fyziky, matematicke analyzy (toerie miry) a matematickych struktur (teorie grup, geometrie, moduly), ale i vsem zajemcum o pocatky teorie reprezentaci, a jeji aplikace v jinych oblastech matematicky (napr. tzv. specialni funkce) a ve fyzice (moderni pojem castice). Predpokladaji se znalosti linearni algebry, zaklady variet (matematici: definice, tecne zobrazeni, integrace na varietach, fyzici: plochy, tecne zobrazeni, integrace na plochach) a povedomi z teorie Lebesguova integralu (pojem miry). Znalosti fyziky nejsou predpokladany, ale usnadni porozumeni v aplikacich.

Temata:
• Priklady Lieovych grup, Haarova mira na kompaktni Lieove grupe
• Zaklady reprezentaci kompaktnich L. grup v konecne dimenzi: uplna reducibilita, Schurovo lemma
• Zaklady reprezentaci kompaktnich L. grup na Hilbertovych prostorech: Schurovo lemma, uplna reducibilita, Peter-Weyluv teorem (event. Plancharelova formule)
• Odvozeni nekterych znamych formuli z Fourierovych rad a Fourierovych transformaci pomoci aplikace vyse uvedene teorie na grupu S^1 a na R^n
• Aplikace na teorii specialnich funkci: definice, rekurentni formule, diferencialni rovnice pro Besselovy fce 1. druhu, Legendreovy polynomy (event. i pro Hermiteovy funkce)
• Klasifikace reprezentaci semidirektnich soucinu grup (Wigner) aneb unitarni dual Poincareho grupy (Harish-Chandra) Odtud definice castice a klasifikace castic v ramci kvantove mechaniky invariantni vuci STR - hmotne castice (daneho spinu), nehmotne castice (dane helicity), vakua, nepripustnych stavu.
Matematici se nemusi bat...Fyizici se dozvi dukaz klasifikace.
• Klasicke super Lieovy algebry: priklady super Lieovych algeber (zneni klasifikacni vety V. Kace); pokud zbyde cas, klasifikacni veta Victora Kace.

Literatura:
• M. Siepanski, Compact Lie groups, Springer
• H. Weyl, Gruppentheorie und Quantummechanik, Leipzig; existuje anglicky preklad
• M. Vilenkin, K. Klimyk, Specialnyje funkcije i predstavljenia; existuje anglicky preklad
• S. Sternberg, Group Theory and Physcs - velmi doporucuji, neb se z teto muzete dozvedet nejen mnohe z Lieovych (vc. konecnych) grup, ale i ze spektroskopie, krystalografie a i z klasickych kalibracnich teorii (osmi dilna cesta, hon na kvarky aj. objevy fyziky castic vysokych energii)
• V. Kac, Classification of simple Lie super algebras, Annals of Mathematics

Cteni z ruznych partii teorie cisel spolecne s L. Krizkou, zajmeci z rad studentu mat. struktur, analyzy, teor. a jad. fyziky a dalsich jsou srdecne zvani

• Cteme knihu From Arithmetics to Physics a Introduction to the Langlands programe, doplneky z Bundschuh: Einfuehrung in die Zahlentheorie
• Cteni se v LS 07/08 kona o utercich od 16. hod. v ucebne K12, o ctvrtcich v sem. mist MU UK od 16. hod. kazdy lichy tyden a v teze mistnosti od 17:30 kazdy sudy tyden (po skonceni Cteni z teorie strun)
• Cteni autmofnich a modularnich forem, LS 10/11, termin zatim nestanoven

Cteni z matematickych aspektu teorie strun - mimo rozvrh fakulty, spolecne s dr. Krizkou - preruseno

• Zakladnim textem jsou Dijkgraafovy lekce "Les Houches Lectures on Fields, Strings and Duality" ze zimni skoly v Les Houches; vhled do fyzikalnich aspektu - ruzne texty na webu. Text lekci
• Terminy
  • Aktualni terminy: seminare se budou konat ve ctvrtek 16:10 -17:40 v sem. mist.MUUK v tertim patre na Karline.
  • LS 04/05: 2 dimenzionalni kvantova teorie pole - klasifikace teorii pomoci Frobeniovych algeber
  • Prazdniny 04/05: svazkove kohomologie[1],[2]; divizory, Riemann-Rochova veta na Riemannovych plochach [3]; navod na reseni prikladu na rod Fermatovy krivky nakryvajici Riemannovu sferu, spocteny pomoci Riemann-Hurwitzovy formule je mozno v ponekud nestd. cestine najit zde [4]
  • ZS 05/06 dimenze regularizovaneho Teichmuellerova prostoru (dokonceni z min. semestru); konformni teorie pole, vertexove algebry; text (bohuzel v nj, ale velmi dobry) [CQFT], Seiberg-Wittenova teorie - viz T. Friedrich: Dirac Operators on Riemannian manifolds, Teubner-Verlag.
  • O zkouskovem a prazdninach by mel cist L. Krizka na tema Homologicka zrcadlita symetrie and Fukayovy kategorie
  • Stav: tento semestr jsme probrali zaklady Osterwald-Schraderovy axiomatiky CFT; nestihli jsme prvni exkurzi do 4dQTF - tj. Seiberg-Wittenovu teorii
  • ZS 06/07 Libor mluvil o vertexovych algebrach a o 2dCQFT
  • LS 06/07 Homologicka zrcadlita symetrie a Fukayovy kategorie. Einsteinovy variety: homogenni variety vs. Kaehlerovy variety jako zakl. priklady Einsteinovych variet, Calabi-Yau variety: nadplochy v projektivnim prostoru, projektivni prostory nejsou (vypocet pomoci Chernovych trid), nekompaktni kvadrika v C^3, Morseho teorie: zaklady - Morseho polynom dominuje Poincareove polynomu, slabe Morseovy nerovnosti a veta o alternujici sume. Pokracujeme Floerovymi kohomologiemi, formulaci hypotezy o zrcadlite symetrii bez Morseho a Floerovy teorie (lagrangeovske fibrace), pomoci techto teorii, algebraicka verze: Fukayovy kategorie (znalost derivovanych kategorii na urovni oprednasek M. Markla vitana)
  • ZS 07/08 seminar se bude konat v sem. mist MU UK na Karline o ctvrtcich od 16. hodiny; liche tydny (pocinaje 4.10.07): Supersymetrie a supervariety; sude tydny: Floerovy homologie a zrcadlita symetrie, derivovane kategorie a D-brany, uvod do dzeta funkci
  • LS 07/08 seminar se bude konat v sem. mist MU UK o ctvrtcich od 16. hod.; liche tydny: supersymetrie a supervariety; sude tydny aritmeticky Langlandsuv program.
  • ZS 08/09 opet v sem. mist. MUUK o ctvrtcich od 16. h. Pokracujeme v supersymetriich, tentokrate uvazovanych vice fyzikalne; zakladnimi texty jsou Deligneovy texty ze supersymetrickeho roku na Princetonu.
  • LS 08/09 opet v sem. mist MUUK o ctvrtcich od 16.h. Prestali jsem cist Deligneovy texty, ktere jsme vlastne cist temer ani nezacali. Cteme clanek Tsygan, Dolgushev o formalite (DG-algebry, DGL-algebry, BV-algebry, Gerstenhaberovy algebry a Kontsevichova veta). Budeme pokracovat ruznymi aspekty deformacniho kvantovani.
  • ZS 09/10 opet. v sem. kst. MUUK, ale o stredach v 16.30. Tentokrate se venujeme spise (alespon formou) matematickemu tematu, a sice Derivovanym kategoriim a jejich aplikacim v teorii ekvivariantnich D-modulu dle Weibela, Bernsteina-Luntse a bruselskych lekci Schmida, doplnek o kvazikoherentnich svazcich z Poncina.

Cviceni z Matematicke analyzy II LS

• odkaz na stranky doc. Prazaka
• Cvici se podle sbirky doc. Kopacka: Matematika pro fyziky II a vybranych sad prikladu dodavanych behem cviceni temata: posloupnosti a rady ciselne, mocninne, analyza funkci vice promennych, zaklady metrickych prostoru, diferencialni rovnice a jejich soustavy, variacni pocet
• odkaz na stranky doc. Pokorneho
• odkaz na ucebni texty prof. Soucka (2. semestr)

Cviceni z matematicke analyzy I ZS 08/09 -neaktualni

• odkaz na stranky dr. Prazaka
• Cvici se podle sbirky doc. Kopacka: Matematika pro fyziky I a vybranych sad prikladu dodavanych behem cviceni
• odkaz na stranky dr. Prazaka
• odkaz na ucebni texty prof. Soucka (1. semestr)

Cviceni z matematiky pro fyziky IV (5. semestr) ZS

Doporucuji sbirku/skripta prikladu doc. Kopacka (M pro F V) a ke cteni knihu Cihak a kol. (vydanou v Matfyzpressu) jako referenci, byt doc. Prazak bude postupovat v jinem poradi a nekdy volit jine pristupy nez tam uvedene. Celkem vhodna je stud. text prof. Soucka na jeho webu, byt drobne chyby.
• Zacali jsem opakovanim Fourierovy transformace funkci z L^1 a L^2. Musime dodelat tranformaci maticove exponencialy - gaussovskeho baliku, resp. "vlnove funkce lokalizovane castice"; jde o jisty prechod mezi p a x reprezentaci, ale v kvantovce mate navic i - tj. tam jde o distribuci, viz pozdeji na cviceni.
• Probrali jsme zaklady Laplaceovy transformace, spocitali priklad na Besselovy funkce (separace p.d.r. vlnoveho typu do cylidrickych souradnic)
• Nyni pociteme s distribucemi: derivace, nasobeni; bude Fourierova transformace, Gelfandovy distribuce; zrejme i sfericky symetricke distribuce, meli bychom pocitat s v.p. 1/x distribuci
• Byla: Gama-funkce, dzeta funkce a Mellinova transformace
• Hlavnim tematem bude jeste reseni prisl. parcialek

Cviceni z matematiky pro fyziky II ZS

• Cvici se podle sbirek doc. Kopacka
• k Matematice pro fyziky III (temata: Lebesgueuv integral, krivkovy a plosny intagral)
• k Matematice pro fyziky II (variacni pocet)
• k Matematice pro fyziky IV (Fourierovy rady) - pokud zbyde cas

Reprezentace Lieovych grup 1 ZS

• Pouzivame knihu Goodman, Wallach: Invariants and Representation theory of Classical Groups
• Odkaz na stranku prof. Goodmana
• a knihu Sternberg: Group theory and physics
• Temata
• Asociativni algebry a jejich reprezentace: jedn., polojedn. alg. a konecne grupy a jejich reprezentace, abstraktni tvrzeni o dvojitem komutantu
• Schurova dualita pro symetrickou grupu - explicitni realizace reprezentaci symetricke a obecne linearni grupy bez pouziti teorie nejvyssich vah (Weylovy moduly a Youngovy symetrizatory)
• Rozklady tenzorovych soucinu pro GL (Gelfanduv integralne geometricky pristup) pomoci indukce na symetricke grupe
• [Text prednasky]

Cviceni z linearni algebry II LS

• odkaz na stranky prof. Soucka, kde je mozne nalezt text prednasek
• cvici se podle sbirek:
• Matematika pro fyziky II
• Vyborny a kol: Cvicime lin. algebru
• Vybranym specialnim tematem je Lorentzova grupa, tj. symetrie Specialni teorie relativity; jeji geometricke a topologicke vlastnosti
• Regulerni temata: vl. cisla, vl. vektory; Jordanuv tvar; kvadraticke formy a jejich normalni tvary; kuzelosecky a jejich klasifikace

Reprezentace Lieovych grup 2 LS 06, LS 07, LS 08

• Pouzivam knihu Dixmier: Enveloping algebras, Knapp: Cohomology of Lie algebras a Vogan: Unitary representations of reductive Lie groups
• Temata:
• 1. Univerzalni obalujici algebra: Poincare-Birkhoff-deWitt teorem, noetherovskost, Nullteilerfreiheit
• 2. Verma moduly (borelsovske): injektivnost homomorfizmu, klasifikace homomorfizmu, Hasseho graf
• 3. Analyticka verze Bott-Borel-Weil vety
• 4. Kostantova verze BBW vety a kohomologie Lieovych algeber
• 5. Pokud zbyde cas, trocha strukturni teorie jednoduchych a parabolickych Lieovych grup a algeber]
• Zkouska: Univ. obal algebra (definice abstraktni a pomoci faktoru tenzorove algebry), PBW teorem, Verma moduly (vlastnosti Verma modulu, injektivnost homomorfizmu a jejich pocet, BGG teorem pro Bruhatove usporadani), BBW teorem pro GL(n,C), U(n) (bez reference k komplexifikaci, souvislost s holomorfnosti, holomorfni homogenni vahy na sfere), pro obecnou Borelovu podgrupu (alespon schematicky bez reference k strukturni teorii), Kohomologie Lieovych algeber (interpretace 1. kohomologie pomoci extenzi, Kostantova veta pro borelovsky pripad)

Reprezentace Lieovych grup 3 - v priprave

Charakterove formule; symetricke prostory; duality Schur-Weyl-Howe-Wallachova typu

Reprezentace Lieovych grup 4

Prednaska je postavena na nekt. kapitolach knihy A. W. Knapp, Represtenations of Lie Groups: On Overview based on Examples (tzv. cerveny Knapp) Probrali jsme a probereme: Pojmy: Vsechny admisibilni reprezentace SL(2,R), resp. C; K-konecne a hladke vektory a vety s nimi souvisejici; Iwasawuv rozklad, Cartanovu involuci, kompaktni a nekompaktni koreny, Langlandsuv rozklad, indukovane reprezentace; sferecke funkce, Harish-Chandruv prostor S, "rychle mizet podel sten Weylovych komor". Vety: irreducibilita holo. pro Sl(2); ireduc. unit. pro sl(2); unitarni irr. ==> admis.; admis. irr. ==> admis.; Vety "kolem" Gardingovych prostoru; Langladsova veta Pripravte se na to, ze vse, co bylo predpovezeno (tj. i casti dukazu), muze byt zkouseno. Ty casti dukazu, ktere jsme neudelali, zkouseny nebudou. Premyslejte nad datu zkousky - jednotnem, prosim. Zapsanao ma Vitek a Tomas.

Linearni algebra I ZS

• Obecne informace o prednasce, cviceni, zapoctu a zkousce [1]
• Texty pana Psena, Formanka a ostatnich studentu (po me kontrole): [2] Zapis 12. a 13. prednasky nebyl zkontrolovan
• Gaussova eliminace [3]; rotace [4] oboji od Petra Franka
• Probrana temata
  • Vektorovy prostor: zakladni pojmy
  • Homomorfizmy vektorovych prostoru
  • Vektorove prostory se skalarnim soucinem
  • Reseni linearnich rovnic - konkretni (Gaussuv) algoritmus na cvicenich
  • Determinanty
  • Stopa a ortogonalni projektory
• Zkouska
  • Byt se jedna z kapitol textu nazyva "Zbytky", je predmetem zkousky. Dukaz o projektorech nebude zkousen, veta samotna ano. Veta o tom, ze O(n,R)={A| (Ax,Ax)=(x,x)} je grupa se muze objevit jako cast zkousky. Nejsou zkouseny pouze probrane vety, ale i jejich drobne aplikace a dusledky, kterymi se zkousi Vase schopnost tvorive porozumet probirane latce (dukaz o O(n,R) mezi tyto patri). Veta o stope bude zkousena i s dukazem (napr. s tim ktery jsme probrali).
  • Pocetni dovednosti: Gaussova eliminace (dimenze lin. obalu, reseni soustav rovnic, inverzni matice), Gramm-Schmidtova ortonormaliazce, vypocet determinantu (rozvojem, z definice), vypocet inverzni matice pomoci alg. doplnku, vypocet reseni rovnic n x n Cramerovym pravidlem, vypocet ortog. projektoru, matice l.z. vzhledem k bazim.
  • Pojmy: Definice v.p., lin. zavislost, generovat, baze, dimenze, matice prechodu, slozky vektoru, linearni zobrazeni, matice linearniho zobrazeni, jadro ( = kernel) a obraz ( = image), rank ( = hodnost), skalarni soucin (nad R i nad C), ortog. doplnek, soucet vektorovych ptrostoru, direktni soucet vektorovych prostoru, grupa, symetricka ( = permutacni) grupa, znamenko permutace, determinant, alg. doplnek, ortogonalni projektor, stopa.
  • Zejmena se jedna o nasl. dulezite vety: Steinitzova, doplneni na bazi, o transformaci slozek vektoru a matice lin. zobrazeni, o jadre a obrazu, Cauchy-Schwartzova veta, trojuhelnikova nerovnost, o ortogonalnim doplnku, Frobeniova, rank(A)=rank(A^T), vety o permutacni grupe, det(A)=det(A^T), det(AB)=det(A)det(B), rozvoj podle radku/sloupce, Crammerovo pravidlo a vzorec pro inverzi pomoci alg. doplnku.

Diferencialni geometrie krivek a ploch LS 06/07

• Zakladni vlastnosti afinnich a vektorovych prostoru; opakovani funkci vice promennych.
• Eukleidova geometrie krivek v R^n: Frenetuv reper, Frenetovy rovnice, krivky v R^2 (tecna, normala, krivost), krivky v R^3 (tecna, normala, binormala, krivost, torze). Veta o shodnosti krivek.
• Eukleidova geometrie ploch v R^3: tecna (nad)rovina, normala, Gaussovo zobrazeni, 1. fundamentalni forma, 2. fundamentalni forma, normalni forma plochy, hlavni smery krivosti, Gaussova, stredni a hlavni krivost, izometrie, izovolumina, konformni zobrazeni, Gaussova a Codazzi-Meinardiova rovnice, Gauss-Bonnetuv teorem, Gaussova Theorema Egregium a dusledky, geodetiky a jejich rovnice, paralelni prenos, vektorova pole, primkove plochy, asymptoticke smery.