Úvod do analýzy na varietách - 3. ročník M

Přednáška a cvičení nebudou rozlišovány, budeme postupovat průběžně a podle potřeby budeme mít tu "přednášku", tu "cvičení". Zápočet bude udílen na konci semestru zároveň se zkouškou, která bude obsahovat praktickou (početní) a teoretickou část.

Literatura:

Přednáška se do velké míry překrývá se skripty (již v PDF) Matematická analýza na varietách (L. Krump, V. Souček, J. Těšínský, Karolinum 1997).
K dalšímu studiu např.: Differentiable manifolds, Second edition (L. Conlon, Birkhäuser 2001).
Příklady k počítání najdete mj. v : Příklady z matematiky pro fyziky III (J. Kopáček, MFF UK).

Co jsme probrali:

4.10. Fyzikální motivace (fyzikální odvození křivkového a plošného integrálu 1. a 2. druhu). Matematická motivace (analogie Newtonova vzorce na křivkách, plochách a oblastech v R^2 a R^3), věta o potenciálu, Greenova, Gaussova-Ostrogradského.

11.10. Věta Stokesova v R^3. Vnější algebra - definice, zákl. vlastnosti, příklady, geometrický význam součinu n-1 vektorů - zobecněný vektorový součin.

18.10. Vnější algebra - rozložitelné vektory, projektivní prostory a Grassmannovy variety, Hodgeův operátor. Diferenciální formy na R^n, vnější diferenciál - definice.

25.10. Vlastnosti vnějšího diferenciálu, příklady, přenášení dif. forem, uzavřené a exaktní formy, Poincarého lemma.

1.11. De Rhamův komplex, de Rhamovy kohomologické grupy. Singulární krychle, řetězce, integrace přes řetězce, nezávislost na parametrizaci. Stokesova věta pro řetězce. Příklady na integraci přes řetězce a Stokesovu větu.

8.11. Definice tenzorové algebry. Vlastnosti tenzorů, kovariantní a kontravariantní tenzory. Vnější algebra definovaná pomocí tenzorové algebry. Symetrická algebra. Indukované zobrazení.

15.11. Variety - definice: mapy, kompatibilita, atlas, varieta, podvarieta, součin variet, orientovatelnost. Příklady: otevřená množina v R^n, parametrizovaná regulární plocha, graf zobrazení, varieta zadaná rovnicí, sféra (stereografická projekce, parametrizace), torus (parametrizace, součin kružnic).

22.11. Variety - další příklady: Möbiův pruh, Kleinova láhev, projektivní rovina, projektivní prostor, Lieovy grupy.

29.11. Variety - další příklady: Grassmanián, "variety" ne-Hausdorffovy a s nespočetnou bází. Hladká zobrazení, difeomorfismus variet. Difeomorfní diferencovatelné struktury na R, falešné R^4, exotické sféry. Variety s krajem - definice, indukovaná struktura variety a indukovaná orientace kraje. Tečné vektory, tečný prostor, kanonické tečné vektory.

6.12. Tečné vektory v souřadnicích, vektorová pole, tečné zobrazení, kotečný prostor, diferenciál funkce.

13.12. Tenzorová pole a diferenciální formy na varietě, vnější diferenciál, přenos forem. Rozklad jednotky, integrace forem přes variety - definice.

20.12. Stokesova věta, praktická integrace, určení orientace. Oprava výsledku př. 10.13b ze skript: 512/3-pi/2 (děkuji Tomáši Penkovi).

3.1. Riemannovy variety a integrál z funkce 1. druhu, příklady. Proč počítáme jen úlohy, které se dají snadno spočítat.

Zpět na hlavní stránku Lukáše Krumpa