Úvod do analýzy na varietách

Přednáška a cvičení nebudou rozlišovány, budeme postupovat průběžně a podle potřeby budeme mít tu "přednášku", tu "cvičení". Zápočet bude udílen na konci semestru zároveň se zkouškou, která bude obsahovat praktickou (početní) a teoretickou část.

Literatura:

Co jsme probrali:

3.10. Matematická motivace (analogie Newtonova vzorce na křivkách, plochách a oblastech v R^2 a R^3), věta o potenciálu, Greenova, Stokesova, Gaussova-Ostrogradského.

10.10. Fyzikální motivace (fyzikální odvození křivkového a plošného integrálu 1. a 2. druhu). Vnější algebra - definice, zákl. vlastnosti, příklady, geometrický význam součinu n-1 vektorů - zobecněný vektorový součin.

17.10. Vnější algebra - Hodgeův operátor, rozložitelné vektory, projektivní prostory a Grassmannovy variety. DÚ: ukažte, že e_12 + e_34 je nerozložitelný.

24.10. Diferenciální formy na R^n, vnější (de Rhamův) diferenciál - definice a vlastnosti, příklady, přenášení dif. forem.

31.10. Uzavřené a exaktní formy, Poincarého lemma, de Rhamův komplex, de Rhamovy kohomologické grupy. Singulární krychle, řetězce, integrace přes řetězce, nezávislost na parametrizaci. Stokesova věta pro řetězce.

7.11. (s V. Součkem) Důkaz Stokesovy věty v R^n. Příklady na integraci přes řetězce a Stokesovu větu. Definice tenzorové algebry. Vlastnosti tenzorů, vnější algebra definovaná pomocí tenzorové algebry.

14.11. Symetrická algebra. Kovariantní a kontravariantní tenzory. Indukované zobrazení. Variety - definice: mapy, kompatibilita, atlas, varieta, diferencovatelná struktura, podvarieta, součin variet, orientovatelnost. Příklady: otevřená množina v R^n, parametrizovaná regulární plocha, graf zobrazení, varieta zadaná rovnicí, kružnice - zadání rovnicí, explicitní mapy pomocí parametrizace. DÚ: sestrojit zobrazení ke stereografické projekci.

21.11. Variety - příklady: sféra (stereografická projekce, parametrizace) torus (parametrizace, součin kružnic). Möbiův pruh, Kleinova láhev, projektivní rovina, projektivní prostor, Grassmanián, Lieovy grupy.

28.11. Lieovy grupy - dokončení. "Variety" ne-Hausdorffovy a s nespočetnou bází. Hladká zobrazení, difeomorfismus variet. Difeomorfní diferencovatelné struktury na R, falešné R^4, exotické sféry (na wikipedii). Variety s krajem - definice, indukovaná struktura variety a indukovaná orientace kraje. Tečné vektory, tečný prostor, kanonické tečné vektory.

5.12. Tečné vektory v souřadnicích, vektorová pole, tečné zobrazení, kotečný prostor, diferenciál funkce.

12.12. Tenzorová pole a diferenciální formy na varietě, vnější diferenciál, přenos forem. Rozklad jednotky.

19.12. Rozklad kednotky -- důkaz. Integrace forem přes variety - definice. Stokesova věta, praktická integrace.

9.1. Určení orientace variety, příklady na integrály a Stokesovu větu. Riemannovy variety, Grammova matice, integrál z funkce 1. druhu, příklady. Oprava výsledku př. 10.13b ze skript: 512/3-pi/2.

Zpět na hlavní stránku Lukáše Krumpa