Neeuklidovská geometrie - přednáška a cvičení (nejen) pro 4.+5. ročník U, 2019/20. |
Literatura:Václav Hlavatý: Úvod do neeuklidovské geometrie (JČMF 1949).Jan B. Pavlíček: Základy neeuklidovské geometrie Lobačevského (Přírodovědecké vydav. 1953), Digitálně zde. Ján Gatial, Milan Hejný: Stavba Lobačevského planimetrie (ŠMM, Mladá Fronta 1969). Marvin Jay Greenberg: Euclidean and Non-Euclidean Geometries, Development and History, Freeman 1994. Zajímavé odkazy:Proč se nepodívat na Wikipedii?Obsažné stránky pana Tadao Ito se spoustou obrázků, dnes už pouze ve webovém archivu, bohužel část obrázků chybí. Stránky o výtvarníkovi M.C.Escherovi, kde v Gallery/Mathematical najdete jeho "klasické" obrazy, znázorňující (Poincarého kruhový) model, např. Circle Limit IV. Stránky D.W.Hendersona s háčkovanými modely hyp. roviny, a rozhovor s ním a jeho ženou D. Taiminou. |
Podmínky zápočtu a požadavky ke zkoušce:K zápočtu je třeba připravit si a přednést referát(y) v množství a rozsahu domluveném na místě. Alternativně (při dlouhodobé absenci) je možné referáty připravit písemně. |
Archiv minulých let: |
Referáty ZS:1. Dvojí geometrie roviny (Pavlíček 88-95): Jana Hatschbachová 14.11.2. Ekvivalentní formulace 5. postulátu I (Pavlíček 95-99): Jakub Šebek 14.11. 3. Ekvivalentní formulace 5. postulátu II (Pavlíček 100-104): Jiřina Duspivová 21.11. 4. Prehistorie neeuklidovské geometrie I (Pavlíček 147-154): Jana Vlčková 5.12. 5. Prehistorie neeuklidovské geometrie II (Pavlíček 154-161): Zuzana Skálová 12.12. 6. Prehistorie neeuklidovské geometrie III (Pavlíček 161-170): Jiří Helus 12.12. 7. Prehistorie neeuklidovské geometrie IV (Pavlíček 170-176): Martin Kukučík 19.12. 8. Objevitelé neeuklidovské geometrie (Pavlíček 177-204(-212)): Michal Zdražil 9.1. |
Zimní semestr:3.10., 10.10., 17.10., 24.10. Nekoná se -- výukové praxe. 31.10. Úvod - motivace do studia neeuklidovské geometrie Euklidovy axiomy, jiné možné typy geometrií, zejména sférická na sféře. Ekvivalentní vyjádření 5. axiomu. Axiomatický přístup ke geometrii: primitivní pojmy + axiomy, modely. Hilbertovy axiomy absolutní geometrie: axiomy incidence. 7.11. Hilbertovy axiomy: axiomy rozmístění a shodnosti, a několik tvrzení z nich plynoucích. 14.11. Věta o jednoznačnosti kolmice. Referát 1 a 2. 21.11. Referát 3. 28.11. Axiomy spojitosti. Saccheriho-Legendreova věta. Beltramiho-Kleinův model hyperbolické geometrie - úvod. 5.12. Referát 4. 12.12. Referát 5 a 6. 19.12. Referát 7. Beltramiho-Kleinův model hyperbolické geometrie - primitivní pojmy bod, přímka, incidence, mezi. Konstrukce přenášení délek, rozpůlení úsečky. Jak zavést délku úsečky, velikost úhlu? Komplexní funkce exp, sinh, cosh, sin, cos, Arg, Log. Laguerrův vzorec pro výpočet úhlu přímek ve svazku pomocí dvojpoměru. Kleinova idea zadání geometrie volbou invariantní kvadriky. Klasifikace geometrií pomocí kvadrik v RP^n. Vzájemné polohy přímek v BK modelu a Lobačevského axiom. 9.1. Referát 8. Požadavky kladené na míru dvou elementů: invariance vůči pohybové grupě a početní vlastnosti. Zavedení míry pomocí logaritmu z dvojpoměru. Pro hyperbolickou geometrii volba konstanty c a z ní plynoucí vlastnosti hyperbolické přímky: rozdělení na dva díly. |
Referáty LS:(Poincarého polorovinný model, z knížky Gatial, Hejný: Stavba Lobačevského planimetrie ke stažení zde)1. Zákl. definice a vlastnosti, konvexita (str.32-35, 50-55): Jiřina Duspivová 5.3. 2. Míra úhlu I. (55-58): Jakub Šebek 5.3. 3. Míra úhlu II. (58-62): Jakub Šebek 30.4. 4. Míra úhlu III. (62-66): Zuzana Skálová 21.5. 5. Míra úsečky I. (66-68): Jana Vlčková 14.5. 6. Míra úsečky II. (69-72): Michal Zdražil, Matúš Proner 21.5. 7. Kružnice v polorovinném modelu. Úhel rovnoběžnosti (72-77): Jan Sedlák 28.5. |
Letní semestr:20.2. Výpočtové vzorce pro hyperbolickou míru. Odvození, že abs. body jsou body v nekonečnu. Geometrický význam konstanty k, analytický výpočet hyperbolické vzdálenosti, průběh funkce "hyperbolická vzdálenost od nuly". Eliptická přímka: Volba konstanty c=l (el, ne jedna), interpretace jako "kružnice 2x na sebe namotané". Eliptická rovina: "sféra 2x na sebe namotaná", její zasazení do systému axiomů. 27.2. Odvození měření úhlů v BK modelu. Kolmost, vyjádření kolmosti v BK modelu (sdružené poláry), existence společných kolmic. Eliptická přímka: vzorce pro výpočet míry. Úhel rovnoběžnosti, vzorec pro závislost velikosti úhlu rovnoběžnosti na délce ramene. Trojúhelníky a asymptotické trojúhelníky. 5.3. Referát 1. Referát 2. Kružnice v hyp. rovině - 1. definice, rovnice kružnice v BK modelu. Obrazem kružnice v BK modelu je elipsa. 12.3., 19.3., 26.3., 2.4., 9.4., 16.4., 23.4. Nekoná se -- výukové praxe / epidemie.
30.4. ON-LINE: Referát 3. Lemma: Společné dotykové body kružnic ve svazku jsou dotykovými body k absolutní kuželosečce a příslušná přímka je spojující je
polárou středu. Věta o kolmosti tečen na poloměry. Kružnice - obecná definice jako ortogonální trajektorie svazku přímek. Svazky kružnic, tři druhy kružnic: cykly, horocykly, hypercykly.
Délky poloměrů vyťaté kružnicemi svazku jsou konstantní (pro cykly, horocykly i hypercykly), zavedení pojmu ekvidistanty.
7.5.
Pohyb v Lobačevského rovině - tři druhy pohybu (cyklický, horocyklický, po ekvidistantě) a porovnání s euklidovskou a eliptickou geometrií. Maticové vyjádření těchto pohybů.
14.5. Referát 5 - délka úsečky v polorovinném modelu (na přímce 2. druhu): definice délky, celočíselná škála, rozpůlení úsečky. Přednáška: čtyři modely Lobačevského roviny a vztahy mezi nimi.Text Jany Vlčkové k referátu. Slajdy 14.5. Video 14.5.
21.5.Referát 4 o délce úsečky na přímce 1. druhu, přenos délek mezi přímkami 1. a 2. druhu, zdvojení a rozpůlení úsečky. Referát 6 o větě o stejných úhlech mezi souběžkami a kolmicí. Přednáška: izometrický model -
Beltramiho pseudosféra, háčkovaný model, konstatní záporná Gaussova křivost Lobač. roviny.
28.5.Referát 5 o kružnicích, horocyklech a ekvidistantách v polorovinném modelu; o dvou verzích vzorce pro úhel rovnoběžnosti. Přednáška: model sféra s imaginárním poloměrem, vzorec pro obsah trojúhelníka, součet úhlů v
trojúhelníku, "kvadratura kruhu".
|