Matematická analýza - přednáška pro 2. ročník U

Zimní semestr 2010/11

Literatura:

J. Veselý: Matematická analýza pro učitele I,II
J. Kopáček: Matematika pro fyziky II,IV, Příklady z matematiky pro fyziky II,IV
I. Černý: Úvod do inteligentního kalkulu I,II

Zkouška, zápočet:

Podmínkou připuštění ke zkoušce je zápočet. Podmínky udělení zápočtu stanovuje cvičící Luděk Kleprlík (kleprlik@karlin.mff.cuni.cz).

Zkouška sestává z písemky (početní příklady), ihned po jejím opravení následuje ústní část (teorie), ke které postupují ti, kdo písemnou část napsali úspěšně. U zkoušky můžete používat kalkulačku k numerickým výpočtům (tj. nikoli např. programovatelnou, která umí derivovat, nebo takovou, která slouží jako záznamník s tahákem). Veškeré poznámky psané i tištěné jsou také zakázány.

Informace pro studenty kombinovaného studia a CŽV:

Studenti kombinovaného studia a CŽV budou skládat zkoušku stejným způsobem a ve stejných termínech jako denní studenti. Zápočet je možné získat dvojím způsobem: buď se domluvíte na jeho získání se s některým se cvičících, což obvykle znamená, že budete psát testy spolu se studenty denního studia - tato možnost se hodí pro ty, kdo mohou docházet na výuku.
Nebo odevzdáte samostatně vypracované úlohy (budou zveřejněny zde během semestru) - tato možnost je zejmény pro ty, kdo se výuky zúčastnit nemohou. Úlohy odevzdávejte kdykoli během semestru cvičícímu nebo přednášejícímu. Papíry čitelně podepište a poznamenejte tam i svůj e-mail, ať vám můžeme sdělit udělení zápočtu nebo případnou potřebu opravy. Předpokládáme, že budete pracovat samostatně a s případnými nejasnostmi se na někoho z nás obrátíte. Cílem není ošidit učitele (a tedy i sebe samého), nýbrž se to naučit ke zkoušce.

Příklady k počítání

Nabízím malé ukázky typických úloh k probírané látce, doporučuji v rámci samostudia vše spočítat! Soubory jsou ve formátu .pdf.
První série (číselné řady)
Druhá série (stejnoměrná konvergence)
Třetí série (mocninné a Taylorovy řady)
Čtvrtá série (Fourierovy řady)
Přehled požadavků ke zkoušce

Co jsme probrali:

29.9. I. Řady. Motivace, definice řady, částečného součtu, součtu, konvergentní a divergentní řady. Příklady: geometrická, harmonická řada, a další.

6.10. (V1.1) Nutná podmínka konvergence řady. Alternující řada, (V1.2) Leibnizovo kritérium. (V1.3) Bolzano-Cauchyho podmínka. Absolutní konvergence, (V1.4) Řada konverguje absolutně => konverguje. (V1.5) Srovnávací kritérium. (V1.6) D'Alembertovo podílové kritérium.

13.10. (V1.7) Cauchyho odmocninové kritérium. (V1.8) Integrální kritérium. (V1.9.) Dirichletovo a Abelovo kritérium.

20.10. Příklad na abs./neabs. konvergenci. Přerovnání neabsolutně konvergentních řad. II. Stejnoměrná konvergence. Definice bodové/stejnoměrné omezenosti, konvergence, B-C podmínky. (V2.1) Stejnoměrná B-C podmínka. (V2.2) Stejnoměrná limita spojitých funkcí na intervalu je spojitá. Příklad.

27.10. (V2.3) Stejnoměrná konvergence zachovává určitý integrál. (V2.4 Moore-Osgoodova) Stejnoměrná konvergence zachovává bodovou limitu. Příklady.

3.11. Zavedení lokálně stejnoměrné konvergence. (V2.5) Weierstrassova věta o derivacích. (V2.6) Diniho věta: spojitá monotónní konvergence ke spojité funkci na uzavřeném intervalu je stejnoměrná. Zavedení stejnoměrné konvergence řad, varianty všech uvedených vět pro řady. (V2.7) Stejnoměrné Dirichletovo, Abelovo (a Leibnizovo) kritérium. Příklady.

10.11. Příklad na stejn. konv. III. Mocninné řady. Základní vlastnosti komplexních čísel, konvergence řad v C. Zavedení poloměru konvergence, kruhu konvergence, konvergenční kružnice. Lemma+Důsledek: mocninná řada konverguje absolutně na svém kruhu konvergence. Příklady.

24.11. (V3.1) Řada konverguje v kruhu konv. absolutně a lok. stejn. Důsledek: součet řady v kruhu je spojitá funkce. (V3.2) Výpočet poloměru konvergence. (V3.3) Formálně zdarivovaná a zintegrovaná řada má stejný poloměr. (V3.4) Součet zderivované řady je derivace, součet zintegrované ředy je primitivní funkce. Důsledek o vztahu k-té derivace f a k-tého koeficientu řady. Zavedení Taylorových řad, příklady Tayl. řad pro známé funkce.

8.12. Příklad, kdy funkce není rovna součtu své Taylorovy řady, funkce nekonečněkrát diferencovatelné versus funkce analytické. Připomenutí Taylorovy věty o zbytku a použití pro důkaz, že "obvyklé" funkce (exp, cos, sin, cosh, sinh, ln(1+x), (1+x)^a) jsou analytické. Rozšíření těchto funkcí do komplexního oboru, vlastnosti komplexních funkcí exp, cos, sin. Součin Tayl. řad pro exp.

15.12. Příklady na výpočet Tayl. řad. Abelova věta (V3.5) o limitním přechodu v krajním bodě, příklad použití. IV. Fourierovy řady. Definice Fourierovy řady, skalárního součinu funkcí a ortogonálního/ortonormálního systému.

22.12. Lemma: siny-cosiny tvoří ortogonální systém. Ortogonální průmět funkce, Besselova nerovnost, Parsevalova rovnost. Jordan-Dirichletovo kritérium. Příklad.

5.1. Příklady na Fourierovy a Taylorovy řady.

Zpět na hlavní stránku Lukáše Krumpa