Andrew Kozlík @

Lineární algebra II, ZS 2012/13

Stránka k přednášce z Lineární algebry II na Pedagogické fakultě UK vedené společně s Jakubem Bulínem.

Aktuality

Zkouška
Seznam požadavků ke zkoušce.
2. domácí úkol - odevzdání
Domácí úkol můžete odevzdat e-mailem (vyfocený, naskenovaný nebo jako PDF) anebo ho můžete vhodit do schránky označené Lineární algebra u vchodu na Katedru algebry MFF Sokolovská 49/83. (Když vyjdete do 3. patra, tak přímo u schodiště po pravé ruce je vchod na Katedru algebry.)
1. domácí úkol - vyzvednutí
Opravnené domácí úkoly si můžete vyzvednout v doktorandské místnosti na Katedře algebry MFF. Katedra je tvořena jednou dlouhou chodbou a na samotném konci této chodby je doktorandská místnost. Úkoly leží v modrém euroobalu na poličce.
Přednáška 1. 12. (1. část)
Bečvář:
  • 23.1 Definice bilineární formy.
  • 23.2 Příklady bilineárních forem.
  • 23.4 Definice matice bilineární formy.
  • 23.3 (ii) resp. 23.5 Reprezentace bilineárních forem.
  • 23.7 Jak se změní matice bilineární formy při přechodu k jiné bázi.
  • 23.8 Všechny matice bilineární formy mají stejnou hodnost.
  • 23.9 Hodnost a nulita bilineární formy.
  • 23.15 Definice symetrické a antisymetrické bilineární formy.
  • 23.19 Definice polární báze.
  • 23.20 Existence polární báze (bez důkazu).
  • 23.24 Definice kvadratické formy.
  • Definice signatury symetrické bilineární formy a kvadratické formy.
  • 25.4 Sylvesterův zákon setrvačnosti (bez důkazu).
  • 27.6 Definice ortogonální matice.
  • Sloupce ortogonální matice tvoří ortonormální množinu.
  • Řádky čtvercové ortogonální matice tvoří ortonormální množinu.
  • 27.7 Determinant ortogonální čtvercové matice je 1 nebo -1.
  • Nechť A je ortogonální čtvercová matice řádu n a u a v leží v Rn, pak ||Au|| = ||u|| a úhel mezi Au a Av je roven úhlu mezi vektory u a v.
    • Příklady: Výpočet polární báze a signatury symetrické bilineární formy. Vyjádření kvadratické formy pomocí matice. Výpočet polární báze a signatury kvadratické formy.
    Přednáška 2. 11.
    Obsah přednášky se z velké části kryje se skripty P. Olšáka, 7.43 – 7.60.
    Souřadnice vektoru. Definice, příklad v R3, příklad v polynomech stupně < 3.
    Matice přechodu mezi bázemi
    • Definice, metoda výpočtu, matice přechodu k a od kanonické báze.
    • Tvrzení: “vzorečky” pro výpočet (s důkazem).
    • Příklad: jsou dány dvě báze, spočtěte matici přechodu, využití k přepočtu souřadnic.
    Matice lineárního zobrazení
    • Definice, metoda výpočtu.
    • Tvrzení: “vzorečky” pro výpočet (s důkazem).
    • Příklad: dána matice lineárního zobrazení vůči nějakým bázím, spočtěte matici vůči jiným bázím.
    • Tvrzení podruhé: Tvrzení: Je-li f lineární zobrazení a A = <f>MM, pak matice podobné A jsou právě všechny matice <f>NN, kde N je báze (tentokrát s důkazem).
    Diagonalizovatelnost - pokračování
    • Důkaz charakterizace diagonalizovatelných matic.
    • Příklad: jak najít matici P.
    • Příklad: diagonalizovat matici, umocnit na velké číslo.
    • Příklad: diagonalizovat endomorfismus.
    • Aplikace na lineární diferenční rovnice: odvození vzorečku pro n-tý člen Fibonacciho posloupnosti.
    Jordanův normální tvar
    • Definice Jordanovy buňky, matice v Jordanově tvaru, Jordanova báze endomorfismu.
    • Tvrzení o existenci a jednoznačnosti Jordanova tvaru komplexní matice (bez důkazu).
    • Aplikace: jak rozhodnout, jestli jsou dvě matice podobné.
    • Tvrzení: počet Jordanových buněk s λ na diagonále je geometrická násobnost λ, součet velikostí Jordanových buněk s λ na diagonále je algebraická násobnost λ.
    • Příklad: je dána čtvercová matice A řádu 3, určete J(A) a P.
    Přednáška 13. 10. (2. část)
    Vlastní čísla: Obsah přednášky se z velké části kryje se skripty P. Olšáka, 7.61 – 7.93.
    Příklady: Hledání vlastních čísel a vlastních vektorů různých lineárních zobrazení v R2 a jedné čtvercové matice řádu 2. Matice nad tělesem Z3, která nemá žádné vlastní číslo. Výpočet charakteristického polynomu matice, vlastních čísel, jejich algebraické a geometrické násobnosti a bází vlastních podprostorů.
    Přednáška 13. 10. (1. část)
    Bečvář: 26.16, 26.17 (důkaz pomocí Gramova-Schmidtova algoritmu), 26.19 – 26.23, 26.27, 26.29 (i), 26.31, 26.32. Důkaz Cauchyovy-Schwarzovy nerovnosti pomocí lemmatu 26.19 a Pythagorovy věty (str. 373 dole). 9.1, 9.2.
    Příklady: Ověření, že integrál součinu funkcí je skalárním součinem na prostoru spojitých funkcí na uzavřeném intervalu. Použití Gramova-Schmidtova algoritmu se standardním skalárním součinem. Výpočet ortogonální projekce vektoru pomocí Fourierových koeficientů. Výpočet ortogonální projekce vektoru pomocí soustavy rovnic. Jednoduché použití věty o aproximaci. Použití věty o aproximaci k proložení množiny bodů polynomem metodou nejmenších čtverců.
    Prostudujte si řešené příklady od Jana Žemličky z roku 2010/2011 a řešené příklady od J. Novotné a M. Trcha.
    Prostudujte si příklady 26.25 a 26.28 v Bečvářově učebnici (trigonometrické polynomy a Legendreovy polynomy).
    Přednáška 4. 10.
    Bečvář: 13.6, 26.1 – 26.15. (Důkaz Cauchyovy-Schwarzovy nerovnosti na přenášce 13. 10.)
    Příklady: Řešení soustavy lineárních rovnic nad reálnými čísly. Určení, zda zobrazení je či není skalárním součinem. Výpočet ortogonální báze ortogonálního doplňku vzhledem ke standardnímu skalárnímu součinu. Výpočet ortogonálního doplňku v prostoru reálných polynomů stupně nejvýše 2 vzhledem ke skalárnímu součinu definovanému integrálem. Jak se dá skalární součin na konečně-dimenzionálním prostoru reprezentovat pomocí matice.

    Zkouška a domácí úkoly

    Zkouška bude písemná, bude se skládat z početní části a z teoretické části a bude za ní možné získat až 75 bodů. Při písemce není dovoleno používat kalkulačky ani poznámky. Seznam požadavků ke zkoušce.

    Během semestru budou na této stránce zveřejňována zadání domácích úkolů, za které bude možné získat dohromady až 25 bodů. (Budou zadány úlohy za více bodů, abyste si mezi nimi mohli vybírat, ale ke zkoušce se vám započítá nejvýše 25 bodů, i když jich získáte více.) Domácí úkoly můžete odevzdávat osobně nebo prostřednictvím e-mailu, a to v podobě PDF, digitální fotografie nebo naskenovaného obrázku (JPEG). Jak Microsoft Office (instrukce zde), tak OpenOffice (instrukce zde) umožňují export do PDF. Početní chyby v domácích úkolech budou hodnoceny přísně, zejména tehdy, dá-li se správnost výsledku snadno ověřit např. dosazením do zadání. Domácí úkoly můžete konzultovat s kolegy, ale své řešení musí každý sepsat samostatně. Kdo od jiného opíše nebo kdo jinému dá opsat řešení nebo část řešení domácího úkolu, ztratí body za celý domácí úkol.

    Výsledky. V tabulce najdete své výsledky podle posledních dvou cifer svého identifikačního čísla UKČO, to je osmimístné číslo uváděné na průkazu studenta pod fotografií. Jestliže si nepřejete, aby v tabulce byly uvedeny vaše výsledky, dejte mi prosím vědět, abych je odstranil. Alternativně si můžete zvolit pseudonym.

    Ke složení zkoušky bude třeba získat v součtu za domácí úkoly a za písemku alespoň 60 bodů.

    Termíny zkoušky

    Vypsány jsou čtyři termíny zkoušky, a to 19. 1. 2013 a 2. 2. 2013, oba v sobotu od 10:00 v učebně K3, dále čtvrtek 7. 2. 2013 od 14:00 v učebně K9 a pátek 15. 2. 2013 od 10:00 v seminární místnosti Katedry algebry. Vše v budově MFF v Karlíně, pár kroků od stanice metra/tramvaje Křižíkova: Sokolovská 49/83, Praha 8. Žádné další termíny vypsány nebudou.

    Literatura

    Příklady

    Valid XHTML 1.0 Strict Proč používat Linux Get Trezor Pokud není uvedeno jinak, podléhá text na těchto stránkách licenci Creative Commons Uveďte autora-Neužívejte dílo komerčně-Zachovejte licenci 3.0 Česko © 2007–2024 Andrew Kozlík