Program jednotlivých přednášek a cvičení
Přednáška č. 1 - 5.10.2015
Úvodní informace - o čem a k čemu je funkcionální analýza, předpokládané znalosti a souvislosti s dalšími
oblastmi matematiky. Začátek oddílu I.1 - až po Příklad I.4(1).
Cvičení č. 1 - 5.10.2015
Úvodní informace o zápočtech, Příklady I.4(2)-(6), prostory c, C0(R), Příklad I.4(7)
Přednáška č. 2 - 7.10.2015
Větička I.5, Příklad I.6(1), Příklad I.6(2) bez důkazu, připomenutí některých definic z teorie míry,
Příklad I.7 - jen informativně, důkaz byl v teorii míry, pokračování oddílu I.1 (Větička I.8 - Tvrzení I.9).
Přednáška č. 3 - 12.10.2015
Příklad I.10, oddíl I.2 až po Tvrzení I.15 včetně části jeho důkazu (konstrukce a jednoznačnost T).
Cvičení č. 2 - 12.10.2015
Prostor Lip([0,1]) a C1([0,1]) jako jeho podprostor,
cvičení ze sady I - příklady 2(d,e,f) a část příkladu 2(o).
Přednáška č. 4 - 14.10.2015
Dokončení důkazu Tvrzení I.15, Věta I.16 - (a) zatím bez důkazu (bude později),
(b) dokázáno, projekce a Tvrzení I.17; oddíl I.3 (prostory se skalárním součinem) s výjimkou důkazu Věty I.24, který
bude příště.
Přednáška č. 5 - 19.10.2015
Věta I.24 a její důkaz, dále oddíl I.4 (řady v normovaných prostorech) až do Tvrzení I.28 včetně. Přitom důkaz
Poznámky (1) za definicí různých typů konvergence a důkaz jedné implikace v Tvrzení I.27 nebyly provedeny
do detailů, ty lze nalézt u textů k přednáškám.
Cvičení č. 3 - 19.10.2015
Cvičení ze sady I - příklady 2(o,r,u) a příklady 3(a,b,f,h) včetně příslušných částí příkladu 4.
Přednáška č. 6 - 21.10.2015
Tvrzení I.29 a následující poznámka, dále oddíl I.5 (Struktura Hilbertových prostorů) až do Věty I.34 a následující definice
(ortogonální projekce).
Přednáška č. 7 - 26.10.2015
Zbytek oddílu I.5 (od definice ortogonálních a ortonormálních systémů až do konce), začátek oddílu I.6
(Věta I.41).
Cvičení č. 4 - 26.10.2015
Cvičení ze sady I - příklady 3(l,r,m,t) včetně příslušných částí příkladu 4, cvičení ze sady II - příklad 1.
Přednáška č. 8 - 2.11.2015
Zbytek oddílu I.6 (od Důsledku I.42 do konce) a oddíl I.7. Přitom v oddílu I.6 byl vynechán důkaz Tvrzení I.46
(zájemci ho najdou u textů k přednášce), z oddílu I.7 bylo podrobně předneseno Tvrzení I.47 včetně důkazu,
zbylá tvrzení (I.48, I.49 a I.50 a související pojmy) byla jen stručně okomentována, jejich důkazy jsou
pro zájemce k dispozici též u textů k přednášce.
Cvičení č. 5 - 2.11.2015
Cvičení ze sady II - příklady 3 a 4, hustota jednoduchých funkcí v prostoru Lp(μ)
pro p∈[1,∞], separabilita Lp(Rn) (nedokončeno).
Přednáška č. 9 - 4.11.2015
Oddíl II.1 (rozšiřování lineárních funkcionálů) - do Věty II.8 včetně.
Přednáška č. 10 - 11.11.2015
Důsledek II.9; oddíl II.2 (podprostory a kvocienty) - do Větičky II.13 včetně, dále definice anihilátorů
A⊥ a B⊥, Věta II.14(b).
Přednáška č. 11 - 16.11.2015
Věta II.14(a), Věta II.15 (případ (b) pro separabilní prostor jen naznačen, podrobný
důkaz je k dispozici u textů k přednášce), oddíl II.3 (vnoření do druhého duálu a reflexivita)
celý - z Věty II.17 byl podrobně dokázán bod (a), důkazy bodů (b) a (c) jsou k dispozici u
textů k přednášce.
Cvičení č. 6 - 16.11.2015
Separabilita Lp(Rn) (pro p<∞, dokončení),
separabilita Lp(A) pro A⊂Rn měřitelnou,
separabilita Lp(μ) pro regulární borelovskou míru na separabilním metrickém prostoru;
izometrie mezi (R2,||.||1) a (R2,||.||∞);
neplatnost pro R3 (pomocí extremálních bodů) a pro C2
(jen stručně zmíněno); vzájemná izometrie prostorů Lp(I), kde
I⊂R je interval; kvocient prostoru lp(Γ)
podle lp(J) jako lp(Γ∖J)
Přednáška č. 12 - 18.11.2015
Oddíl II.4 (reprezentace duálů klasických prostorů) - do Důsledku II.22 včetně,
z Věty II.21 byl dokázán podrobně bod (a), body (b) a (c) stručněji;
Věta II.23 (část - důkaz, že za daných předpokladů je Φ izometrie do).
Přednáška č. 13 - 23.11.2015
Dokončení oddílu II.4 - Věta II.23 (pokračování - schéma důkazu, že Φ je na pro konečnou míru);
Důsledek II.24, Věta II.25 (důkaz spojitosti nezáporného funkcionálu a jeho norma; definice reprezentující
míry a pár slov o strategii důkazu), Věta II.27 (schéma důkazu, že Φ je na). Důkazy, které nebyly
podrobně provedeny jsou k dispozici u textů k přednášce. Oddíl III.1 (Důsledky Baireovy věty) - Tvrzení III.1,
Důsledky III.2 a III.3, včetně připomenutí definice řídké množiny, množiny první a druhé kategorie a Baireovy věty.
Cvičení č. 7 - 23.11.2015
Kvocient prostoru C[0,1]
podle {f; f=0 na [0,1/2]} jako C[0,1/2];
obecnější případ - kvocient prostoru C(K)
podle {f; f=0 na F} jako C(F) (nespočteno do detailů);
Lemma II.26 a výpočet normy funkcionálu z Věty II.27.
Přednáška č. 14 - 25.11.2015
Dokončení oddílu III.1 - od Věty III.4 do konce oddílu, včetně protipříkladu ilustrujícího důležitost
předpokladu úplnosti Y ve Větě III.5 a v Důsledku III.7, důležitost předpokladu úplnosti
X byla jen zmíněna, protipříklad včetně vysvětlení je k dispozici u textů k přednášce. Lemma III.9
nebylo dokázáno podrobně, ale bylo řečeno, že se dokazuje stejně jako příslušné vlastnosti F2.
Dále začátek oddílu III.2 (projekce a topologické doplňky) do Věty III.11 včetně.
Přednáška č. 15 - 30.11.2015
Dokončení oddílu III.2 - od Větičky III.12 do konce oddílu, oddíl III.3 (duální a adjungované operátory) -
do Věty III.17, včetně poznámek za ní následujících.
Cvičení č. 8 - 30.11.2015
Reprezentace duálu k (XxY,||.||p) jako
(X*xY*,||.||q); funkcionály na C1[0,1];
příklady ze sady III - 1a,c,d,i.
Přednáška č. 16 - 2.12.2015
Dokončení oddílu III.3 - od Větičky III.18 do konce oddílu, oddíl III.4 (kompaktní operátory) -
do Věty III.22 včetně, Věta III.23(a),(c).
Přednáška č. 17 - 7.12.2015
Dokončení oddílu III.4 - Věta III.23(b),(d), Věta III.24 (včetně definice stejné spojitosti), Věta III.25.
Začátek oddílu III.5 (spektrum omezeného operátoru) - do Tvrzení III.26(a) včetně.
Cvičení č. 9 - 7.12.2015
Příklady ze sady III doplněné o příslušné úlohy ze sady IV - III/1j)+IV/13, III/1l)+IV/17,
III/1k)+IV/16, III/1n)+IV/18, III/1t+IV/23,24.
Přednáška č. 18 - 9.12.2015
Dokončení oddílu III.5 - od Tvrzení III.26(b) do konce oddílu. Z Věty III.27 byla dokázána jen část
(bod (a) a v bodě (c) kompaktnost a inkluze), zbytek byl jen naznačen. Podrobný důkaz je k dispozici
u textů k přednášce.
Začátek oddílu III.6 (spektrální teorie kompaktních operátorů) - do Věty III.32(a) včetně.
Přednáška č. 19 - 14.12.2015
Věta III.32, stručné poznámky o větách III.33 a III.34 (důkazy jsou k dispozici u textů k přednášce,
tyto dvě věty zkoušeny nebudou). Začátek kapitoly IV (teorie distribucí a Fourierova transformace),
oddíl IV.1 (Prostor testovacích funkcí a slabé derivace) - do Důsledku IV.3 včetně.
Cvičení č. 10 - 14.12.2015
Kombinace příkladů ze sad IV a V: V/12, IV/6+V/5, IV/7+V/6, V/1,2, IV/20.
Přednáška č. 20 - 16.12.2015
Dokončení oddílu IV.1 - od Větičky IV.4 do Lemmatu IV.6 včetně, Věta IV.8(a)
jako důsledek Lemmatu IV.6; stručně o Tvrzení IV.7 (důkaz bude později za použití jiné
terminologie), stručně o Větě IV.8(b,c) (jen schéma důkazu pro první část (b), podrobný
důkaz je k dispozici u textů k přednášce). Začátek oddílu IV.2 (distribuce, základní
vlastnosti a operace) - do Příkladů IV.9 včetně následující poznámky.
Přednáška č. 21 - 21.12.2015
Dokončení oddílu IV.2 - od definice derivace distribuce do konce; přičemž Tvrzení IV.11(b) bylo
jen stručně zmíněno (podrobný důkaz je k dispozici u textů k přednášce). Poznámka, že z Tvrzení IV.11(a) plyne
Tvrzení IV.7. Začátek oddílu IV.3 (další vlastnosti distribucí) - do Věty IV.13 včetně, přičemž důkazy byly jen naznačeny.
Cvičení č. 11 - 21.12.2015
Kombinace příkladů ze sad III-V: IV/21, III/1q,r, V/16,17. Dále distribuce φ↦φ'(0),
důkaz, že není generovaná ani funkcí ani mírou; distribuce Λ1/x, která je definovaná pomocí
hlavní hodnoty integrálu, jako derivace regulární distribuce Λlog|x|.
Přednáška č. 22 - 4.1.2016
Dokončení oddílu IV.3 - připomenutí ekvivalence (i) a (iv) z Věty IV.13 a pokračování do konce oddílu,
přitom z Příkladu IV.14 bylo dokázáno jen to, že regulární distribuce jsou řádu nula, Věta IV.16 dokázána nebyla
a z Věty IV.17 byly dokázány body (a) a (b) a naznačena myšlenka důkazu bodu (c). Podrobný důkaz Věty IV.16 a Věty IV.17
je k dispozici u textů k přednášce.
Začátek oddílu IV.4 (konvoluce funkcí a aproximativní jednotka) - do Věty IV.18(a,b) včetně, přičemž
byl proveden důkaz bodu (a) a bod (b) byl jen stručně zmíněn (důkaz je k dispozici u textů k přednášce).
Cvičení č. 12 - 4.1.2016
Distribuce φ↦φ'(0) na R je řádu 1;
distribuce φ↦Σn∈Nφ(n)(n) na R
je nekonečného řádu; nemožnost definovat násobení na distribucích; “řešení rovnice
y''-y=δ0 v distribucích”; důkaz Lemmatu IV.21.
Přednáška č. 23 - 6.1.2016
Dokončení oddílu IV.4 - od Věty IV.18(c) do konce (z bodu (c) Věty IV.18 byla uvedena jen výpočetní část
důkazu, z Věty IV.20 byl dokázán jen bod (b)). Dále oddíl IV.5 (konvoluce distribucí) - Lemma IV.22 a Tvrzení IV.23
byly jen stručně okomentovány, byla definována konvoluce distribuce a testovací funkce, posun a otočení distribuce
a konvoluce dvou distribucí, z nichž jedna má kompaktní nosič. Byla probrána Věta IV.24(a-c) a část Věty IV.25(a),
přičemž důkazy tvrzení (b) a (c) z Věty IV.24 byly jen naznačeny.
(Podrobné důkazy tvrzení z těchto oddílů jsou k dispozici u textů k přednášce.)
Přednáška č. 24 - 11.1.2016
Dokončení oddílu IV.5 - Věta IV.25 (dokončení bodu (a), body (b,c,d) dokázány, bod (e) zmíněn s tím, že
důkaz se provede dosazením do definic s použitím Věty IV.24(b), bod (f) dokázán), dále dokázán bod (d) z Věty Iv.24
a stručně okomentovány body (e,f) Z Věty IV.24 a bod (g) z Věty IV.25. Oddíl IV.6 (Fourierova transformace funkcí a Schwartzův prostor)
- do Tvrzení IV.26(d) včetně.
Cvičení č. 13 - 11.1.2016
Toto cvičení bylo využito k pokračování přednášky od Tvrzení IV.26(d) do Věty IV.28 včetně.
Přitom Větička IV.27 byla jen stručně okomentována, poznámka za ní zmíněna bez důkazu,
z Věty IV.28(b) byl podrobně ukázán jen první bod.
Přednáška č. 25 - 13.1.2016
Dokončení oddílu IV.6 - od Důsledku IV.29 do konce oddílu, přičemž Důsledek IV.32 byl jen
stručně zmíněn a z Věty IV.34 byl dokázán bod (a) a vysvětleno, že bod (b) je jeho okamžitým
důsledkem. Dále oddíl IV.7 (temperované distribuce a jejich Fourierova transformace) do Věty IV.41 včetně,
přičemž Větička IV.35, Tvrzení IV.36, IV.37, IV.38, IV.39 a Věta IV.40 byly jen stručně zmíněny, z Věty IV.41
byly dokázány body (a,b,c), bod (d) jen stručně zmíněn a o bodu (e) řečeno, že plyne snadno z definic
a z Věty IV.31(c). (Podrobné důkazy tvrzení z těchto oddílů jsou k dispozici u textů k přednášce.)
