|
|
Poznámky k řešení domácího úkolu č. 5
- Druhou úlohu měli všichni správně. Někteří ji řešili pomocí homogenní rovnice
a variace konstanty, většina pomocí integračního faktoru. Jedinými nedostatky bylo
nedůsledné uvádění definičního oboru řešení. Ten je sice jasný ze zadání, ale do výsledku
patří.
- Řešení první úlohy sestávalo ze dvou částí. Nejprve bylo třeba vyšetřit chování
řešení rovnice (stacionární řešení, monotonie, intervaly pomocí konvergence integrálů,
nalepování). Potom bylo třeba pomocí výsledků tohoto zkoumání zodpovědět otázky a),b),c).
Chyby v jednotlivých částech okomentuji zvlášť.
- V první části, tedy vyšetření průběhu řešení pomocí konvergence integrálů, studenti
dělali výrazně méně chyb než při minulém úkolu. Některé chyby se nicméně opakovaly:
|
|
- Někteří tvrdili, že funkce g má v bodě 7 vlastní derivaci.
Není tomu tak.
- Někteří tvrdili, že limita g(y)/y4/3 v -∞
je 1. Tato limita je ve skutečnosti -1. Chyba je způsobena špatným vytknutím
z odmocniny ve jmenovateli. A pokud už tu chybu uděláme, mohlo by nás zarazit, že limita
záporné funkce (g je záporná na (-∞,-1) a y4/3
je kladné) vychází kladná.
- Dále se objevovalo, podobně jako minule, zkoumání funkce u nesprávného konce intervalu.
Jak to má být správně? Mějme interval nenulovosti (a,b). Na tomto intervalu
je tedy funkce g spojitá a nenulová, tj. buď všude kladná nebo všude záporná.
Zvolíme bod c v intervalu (a,b) a vyšetřujeme konvergenci
integrálu z 1/g přes intervaly (a,c>
a <c,b). Je důležité si uvědomit, že ty intervaly jsou polouzavřené,
každý jiným způsobem.
Na intervalu <c,b) použijeme přímo Věty XIV.3 a XIV.4 z přednášky.
Zkoumáme tedy chování funkce g u bodu b zleva. To znamená,
že zkoumáme příslušnou limitu nebo derivaci v bodě b zleva.
Na intervalu (a,c> je situace jiná. Tam nepoužíváme přímo zmíněné
dvě věty, ale jejich analogie pro tento typ intervalu. To znamená, že zkoumáme
chování funkce g u bodu a zprava. Tedy
zkoumáme příslušnou limitu nebo derivaci v bodě a zprava.
Nezkoumáme nikdy chování funkce g u bodu c, ať už zprava
nebo zleva. Jednak to chování je jasné - má tam vlastní nenulovou limitu, a to
g(c), a jednak nám to nic neříká o konvergenci či divergenci příslušného
integrálu.
Proto například v našem případě si rozdělíme interval (0,7) třeba bodem
3 na (0,3> a <3,7). Pro první z integrálů vyšetřujeme
chování u nuly (a tam má g vlastní derivaci, tedy příslušný integrál
diverguje); pro druhý z integrálů vyšetřujeme chování u bodu 7 (a tam integrál
konverguje díky Větě XIV.3(2)). V žádném případě nevyšetřujeme chování v bodě 3
(nebo kterémkoli jiném, který jsme si náhodně zvolili), protože to je k ničemu.
- Dále se vyskytovalo špatné používání oněch dvou vět z přednášky. Je pravda, že
funkce g má v +∞ limitu +∞, tedy nenulovou.
Ale z toho nic neplyne. Někomu to připomene Větu XIV.3(1), ale ta platí pro omezený interval,
nikoli pro neomezený. Je třeba použít Větu XIV.4(1).
Nebo je pravda, že funkce g má v bodech -1,0,7 nulovou limitu.
Ale z toho také ještě nic neplyne o konvergenci příslušných integrálů.
- Někteří kreslili obrázek grafů. To sice nebylo požadováno, ale je to určitě užitečné
pro zodpovězení otázek a)-c). A když už se grafy kreslí, je třeba do nich správně zachytit
výsledky. To znamená, že by z grafu mělo být vidět, kde se nalepuje a kde ne. A v bodech,
kde se nalepuje, musí být vidět, že grafy navazují (včetně derivace).
|
- Další chyby byly v odpovědích na otázky a)-c) v závislosti na výsledcích předchozí analýzy. Zde jsem
posuzoval nejen to, zda odpovědi jsou správné, ale i to, zda souhlasí s výsledky předchozí analýzy
(byť chybnými). Někteří studenti psali odpovědi, které s výsledky nijak nesouvisely. Někteří sice odpovědi
znali, ale formulovali podivně. Tentokrát místo popisu chyb raději popíši správné řešení, protože část odpovědí
byla zcela nesmyslná.
|
|
- Nejprve je třeba si uvědomit, co to znamená, že řešení prochází daným bodem. Pokud říkáme, že
řešení y prochází bodem [u,v], znamená to, že tímto bodem prochází graf řešení
y, neboli platí y(u)=v.
- Správná odpověď je množina všech bodů [u,v] z R2, pro které
v patří do intervalu <-1,7>.
Důvod:
Nechť v>7. Při předchozí analýze vyšlo, že řešení s hodnotami v intevalu (7,+∞)
jsou rostoucí a definovaná na omezených intervalech, přičemž v pravém krajním bodě mají limitu +∞.
Proto je nelze prodloužit na celé R.
Nechť v<-1. Při předchozí analýze vyšlo, že řešení s hodnotami v intevalu (-∞,-1)
jsou klesající a definovaná na shora omezených intervalech, přičemž v pravém krajním bodě mají limitu -∞.
Proto je nelze prodloužit na celém R.
Pokud v je rovno jednomu z čísel 7,0,-1, prochází bodem [u,v] stacionární řešení.
To je definované na celém R.
Nechť v patří do intervalu (-1,0). Podle předchozí analýzy jsou řešení s hodnotami v
(-1,0) definovaná na celém R. Jedno z těchto řešení prochází bodem [u,v].
Nechť v patří do intervalu (0,7). Podle předchozí analýzy jsou řešení s hodnotami v
(0,7) klesající a definovaná na intervalech typu (T,+∞), přičemž v bodě T
lze nalepit stacionární řešení s hodnotou 7. Takto nalepené řešení je definováno na celém R.
Jedno z těchto řešení prochází bodem [u,v].
- Správná odpověď je množina všech bodů [u,v] z R2, pro které
v patří do intervalu <-1,7).
Nejlepší zdůvodnění (které jeden student použil), je asi toto: Vezmeme množinu z otázky a) a vyloučíme z ní ty body,
kterými prochází alespoň dvě řešení definovaná na R. A to jsou pouze ty body, které splňují
v=7. Těmi totiž prochází nekonečně mnoho řešení definovaných na R - jedno stacionární
a nekonečně mnoho slepených. Všemi ostatními body z a) prochází jen jedno řešení definované na R.
- Správná odpověď je množina všech bodů [u,v] z R2, pro které
v patří do intervalu <-1,0> nebo do intervalu <7,+∞). Toto měla většina
studentů správně - k tomu stačí vyšetřit znaménko g a monotonii řešení.
|
|
