|
Poznámky k řešení domácího úkolu č. 3
- Správný tvar modifikované rovnice v první úloze je
y'=y/40-y2/5000000-500.
Intuitivní odvození je analogické intuitivnímu odvození rovnic pro malthusiánský
i logistický model, které bylo na přednášce.
- Opět někteří studenti špatným způsobem určovali definiční obory řešení rovnice se separovanými
proměnnými. Správný postup byl na přednášce, na cvičeních, a také byl popsán v poznámkách
k druhému úkolu. Někteří studenti dělali tytéž chyby, na které jsem v poznámkách k druhému
úkolu upozorňoval.
Kromě toho se objevil nový druh chyby: Někteří správně určili obraz jednotlivých
intervalů z třetího kroku při funkci G, ale tento obraz mylně prohlásili za
definiční obor řešení. Přitom ten se získá vyšetřením, pro která x
patří H(x)+c do intervalu G(J). V první úloze bylo H(x)=x,
takže se vyšetřovalo, kdy x+c patří do G(J), což je snadné.
(Ale je třeba to udělat.)
- Správná odpověď na doplňující otázku v první úloze je, že při počátečním stavu
20000 populace v konečném čase (který jde spočítat) vymře. Není správné říkat,
že v konečném čase bude mít limitu -∞, protože populace nemůže být záporná.
Není ani úplně správné tvrdit, že se populace limitně bude blížit k nule - je sice pravda, že
v pravém krajním bodě definičního oboru má limitu 0, ale není tam explicitně
vyjádřeno, že ten pravý krajní bod je reálné číslo (tj. konečný čas), a ne +∞.
Při druhých dvou počátečních podmínkách bude populace existovat nekonečně dlouho a její velikost
se bude blížit ke 100000 (v jednom případě shora, ve druhém zdola).
- Ve druhé úloze bylo možné řešení hledat buď ve tvaru y=xz
nebo y=x+z. Oba postupy jsou možné, oba vedou na rovnici se separovanými
proměnnými s novou neznámou funkcí z. První varianta je standardní postup,
protože pravá strana je homogenní stupně 0; druhá varianta je specifická
možnost pro tuto konkrétní rovnici. Přitom druhá varianta je početně jednodušší - jednak
vzniklá rovnice je jednodušší a jednak není potřeba vylučovat hodnotu x=0.
K tomu lze na obecné rovině poznamenat, že se učíme metody řešení, které univerzálně
fungují pro určité typy rovnic. To samozřejmě nikterak neznamená, že je pro rovnice
daného typu musíme použít vždy. Pokud nás napadne metoda, která je pro danou rovnici
jednodušší než standardní postup, a správně ji použijeme, je to zcela v pořádku.
A je to v pořádku i v případě, že si zadavatel příkladu takový postup nepředstavoval,
protože ho nenapadl.
- Pokud byl ve druhé úloze standardní postup, bylo třeba nejprve vyloučit hodnotu
x=0, vyřešit vzniklou rovnici pro z, pak funkce y(x)=xz(x)
jsou řešením původní rovnice. Nakonec je třeba diskutovat, co se děje v bodě x=0.
Jak na to?
|
- Vybrat řešení, která jsou definována na intervalech s pravým krajním bodem 0,
a řešení definovaná na intervalech s levým krajním bodem 0.
To jsou ta řešení, která by teoreticky mohlo jít slepit v bodě x=0
(nalevo od nuly jedno řešení, napravo druhé, v nule definováno vhodnou hodnotou).
- Pro řešení definovaná nalevo od nuly spočítat limitu v nule zleva; pro řešení definovaná napravo
spočítat limitu v nule zprava. Vybrat ty dvojice řešení (jedno vlevo, jedno vpravo),
pro které limity vyjdou stejně. Tyto dvojice lze spolu slepit tak, aby výsledná funkce
byla spojitá i v bodě x=0.
- Pak je třeba zjistit, zda takto slepené funkce jsou řešením, tj. zda splňují rovnici
i v bodě x=0. K tomu je třeba, aby měly v bodě x=0 vlastní derivaci
(to ověříme výpočtem limity derivace příslušných řešení - musí vyjít vlastní a z obou stran
stejné; nemusíme kvůli tomu derivovat vzoreček pro řešení, často lze využít toho, že
funkce splňují rovnici mimo nulu, jak se to počítalo na cvičeních). Kromě toho musí
být v bodě x=0 splněna rovnice, což ověříme tak, že do ní dosadíme
x=0, spočtenou limitu řešení a spočtenou limitu derivace.
|
V tomto bodě dělali studenti dva druhy chyb. Někteří prohlásili, že bodem [0,1]
žádné řešení neprochází, protože bod 0 není v definičním oboru. To je ale špatně,
protože tím zcela ignorovali fakt, že vyloučení nuly bylo jen pomocným krokem, který
slouží k tomu, aby fungoval postup, ale neplyne z původní rovnice.
Jiní si uvědomili, že by šlo řešení lepit, ale spočítali jen limity řešení a derivaci
nezkoumali. Těm tedy chyběl poslední krok řešení.
Je třeba rozlišit tento druh navazování řešení od lepení v šestém kroku řešení
rovnice se separovanými proměnnými. V tom případě limitu derivace počítat nemusíme,
protože z našeho postupu plyne, že vyjde správně automaticky. (Je to zdůvodněno
v příslušném textu k přednášce.) Ale v jiných případech tato automatika nemusí fungovat.
- Je třeba rozumět tomu, co to je maximální řešení. Definice říká, že je to takové řešení,
které už nelze prodloužit na větší interval tak, aby nová funkce byla opět řešením.
Je-li tedy y řešením na intervalu (a,b), pak je maximální, pokud
nelze prodloužit ani doprava ani doleva (tj. ani na interval (a,c),
kde c>b, ani na interval (d,b), kde d<a).
Jak se pozná, že nelze prodloužit? Nejprve uvažme, co znamená, že lze prodloužit. Pokud
je z prodloužením y na interval (a,c), znamená
to následující:
|
- z je řešením na intervalu (b,c). Musí tedy existovat řešení
na intervalu, jehož levý krajní bod je b.
- Funkce z je spojitá v bodě b. Bod b
musí být tedy reálné číslo a nikoli +∞, navíc funkce y musí mít v bodě
b vlastní limitu zleva.
- Funkce z musí v bodě b splňovat rovnici.
|
Tedy, máme-li například rovnici y'=g(y).h(x) a y je její řešení
na intervalu (a,b), pak doprava nelze prodloužit v následujících
případech:
|
- Bod b nepatří do definičního oboru funkce h (například
b=+∞);
- Bod b je krajním bodem definičního oboru funkce h.
- Funkce y má v bodě b zleva nevlastní limitu, nebo limita
v bodě b zleva neexistuje.
- Funkce y má sice v bodě b vlastní limitu zleva,
ale její hodnota nepatří do definičního oboru funkce g
(nebo je krajním bodem definičního oboru funkce g, který není
stacionárním bodem).
|
Pokud někdo spočítá limitu řešení v krajním bodě, a ta mu vyjde vlastní, nelze hned
usoudit, že řešení není maximální. Určitě nelze prohlásit, že není maximální, a dále
nepokračovat. Pokud totiž opravdu není maximální, musím najít jeho prodloužení,
které už je maximální.
|