|
|
Poznámky k řešení domácího úkolu č. 2
- Obecná poznámka k domácím úkolům: Hlavním smyslem domácích úkolů je naučit se dobře počítat, nikoli získat body.
Rád opravím jakýkoli vážně míněný pokus o co nejlepší a co nejúplnější řešení. Ale ten,
kdo odevzdá jen triviální část řešení bez vážného pokusu o úplné řešení, žádné body nezíská.
Takováto "řešení" prosím neodevzdávejte.
- Řešení diferenciální rovnice je vždy definováno na otevřeném intervalu, je tedy vždy dáno
vzorečkem a intervalem. Proto například
řešení první úlohy s počáteční podmínkou je definováno na intervalu (-∞,log(2)),
nikoli na sjednocení dvou intervalů, jak mnoho studentů uvedlo.
Stejně tak u druhé úlohy, řešení procházející bodem [-3,2] není stejné jako řešení
procházející bodem [3,2]. Jsou sice dána týmž vzorečkem, ale každé z nich je na
jiném intervalu. Jejich grafy jsou spolu osově souměrné podle osy y.
- Řešíme-li nerovnici ex>-c, je třeba rozlišit případy,
kdy c≥0 (pak jsou řešením všechna reálná čísla) a kdy
c<0 (pak je možné rovnici zlogaritmovat). Není možné jen mechanicky
zlogaritmovat, a pak ještě případně přidat podmínku c<0.
- Řešení mohou nabývat jen reálných hodnot. Tak to bylo definováno. Proto hodnotami
nemohou být ani imaginární čísla (třeba i a -i) ani -∞
ani +∞. (Řešení s komplexními hodnotami by mělo smysl vyšetřovat, my se tím
však nezabýváme; řešení nabývající nekonečných hodnot je ovšem naprostý nesmysl.)
- Poznámka k definičním oborům řešení: Definiční obor řešení rovnice se separovanými
proměnnými určujeme v pátém kroku našeho postupu. Vezmeme interval I z prvního
kroku a interval J z druhého kroku. Pro pevné c určíme množinu
těch x z intervalu I, pro která H(x)+c patří
do G(J). Pak najdeme maximální otevřené intervaly obsažené v této množině.
A každý z těchto intervalů je pak definičním oborem řešení daného vzorečkem
y(x)=G-1(H(x)+c).
Tedy například v druhém příkladu z domácího úkolu pro dané c
vyšly intervaly (-exp(π/2-c),-exp(-π/2-c)) a (exp(-π/2-c),exp(π/2-c)).
Proto pro každé c máme dvě řešení - obě jsou dána týmž vzorečkem
y(x)=tg(log|x|+c), přičemž jedno je definováno na prvním z uvedených intervalů
a druhé na druhém intervalu.
Pokud po správném určení intervalů napíšeme vzoreček pro řešení, intervaly, na nichž je to řešení,
už počítat nemusíme. Máme je totiž už spočtené. Navíc, pokud místo napsání již spočtených
intervalů mechanicky určujeme, kde nalezený vzoreček má smysl, můžeme dojít ke špatnému
výsledku.
Ve druhém příkladu někteří studenti určili intervaly i vzoreček pro řešení, ale pak místo
uvedení správných intervalů napsali, že to platí pro x≠0. To je nesmyslný
postup, i když si odmyslíme fakt, že vzoreček nemá smysl pro všechna nenulová x.
A přesto, že na každém z intervalů, kde vzoreček má smysl, je (v tomto konkrétním případě)
opravdu řešením. Ale tím dostaneme každé řešení mnohokrát - řešená daná spočteným vzorečkem
na ostatních intervalech (tedy na těch, kde vzoreček má smysl, s výjimkou dříve určených dvou)
jsou ve skutečnosti řešení odpovídající jiné hodnotě c na těch správných (tj. spočtených) intervalech.
Proto je popsaný postup nesmyslný - v nejlepším případě nám přidělá práci
a vnese chaos do naší představy o řešeních, v horším případě může vést ke špatnému
výsledku.
|
