Proč si myslím, že ekonomové často používají matematiku špatně
Tento můj názor není založen na kvalifikovaném rozboru velké části matematicko-ekonomické
literatury. Není však pouhou spekulací, zakládá se na několika konkrétních zkušenostech.
Možná, že tyto zkušenosti byly jen výjimečné. Ale přesto vzbuzují pochybnosti.
Konkrétněji:
- Byl jednou jeden ekonom. Tedy, pořád ještě je. Působí na jisté americké univerzitě a oblíbil si teorii her.
Píše články o Nashově rovnováze a souvisejících věcech. Rozhodl se ve svém výzkumu aplikovat pokročilé matematické
partie - teorii míry, funkcionální analýzu, topologii. Napsal článek, ve kterém zformuloval jakousi velmi komplikovanou matematickou
větu, napsal její důkaz a nějaké aplikace na Nashovy rovnováhy. Článek poslal do jistého dobrého matematického časopisu.
Editor mi tento článek poslal k recenzi. Se zájmem jsem se do něj začetl s nadějí, že se poučím o aplikacích matematiky.
Nicméně velmi brzy jsem zjistil, že to není matematický text. Autor s literaturou pracoval spíše dadaisticky. Velmi brzy se
projevilo, že oněm pokročilým partiím matematiky nerozumí a dopouští se triviálních chyb. Naprostou nesmyslnost jeho způsobu práce s literaturou
sice pochopí jen odborník, ale trochu to ilustrují následující příměry.
Předpokládejme, že někdo najde v literatuře následující tvrzení:
- Hraběnka A.B. byla travička. (Kniha č.1, strana 157)
- Tráva je zelená. (Kniha č.2, strana 215)
- Trávě se někdy říká travička. (Kniha č.2, strana 213)
A pak do svého článku napíše:
Hraběnka A.B. byla zelená (viz Kniha č.1, strana 157 a Kniha č.2, strana 215).
Nebo dejme tomu, že v literatuře najde následující tvrzení:
- Dosah slabé interakce je omezen na 10-18 m. (Kniha A, strana 357)
- Měsíc obíhá kolem Země díky působení gravitační síly. (Kniha B, strana 250)
- Gravitační síla (jinak též interakce) je v porovnání s jinými interakcemi velmi slabá. (Kniha A, strana 355)
A v článku se objeví:
Vzdálenost Měsíce od Země nepřesahuje 10-18 m (viz Kniha A, strana 357 a Kniha B, strana 250).
Za tímto závěrem asi stojí úvaha: Měsíc je v dosahu gravitační síly Země. Gravitace je velmi slabá interakce. Slabá interakce má dosah nejvýše
10-18 m. Tedy velmi slabá interakce tím spíše (je ještě slabší). Odtud plyne ono omezení na vzdálenost Země od Měsíce.
Co je špatně? Neznalost předmětu, o němž se píše. Nerozpoznání, že výraz "velmi slabá interakce" o gravitaci je intuitivní vyjádření bez
nároku na přesnost, zatímco "slabá interakce" je odborný termín. A že "velmi slabá" v intuitivním smyslu neznamená "s menším dosahem než slabá"
v přesném smyslu.
No, a asi takto onen ekonom citoval matematickou literaturu. A špatně byly nejen důkazy, ale i samotná tvrzení, jak se bylo možné přesvědčit
nepříliš těžkým protipříkladem. Článek byl zamítnut.
- Nicméně, onen ekonom se nevzdal. Po necelých dvou letech do téhož časopisu poslal další článek. Také jsem ho dostal k recenzi.
Trochu se poučil z předchozího neúspěchu. V článku pečlivě definoval řadu matematických pojmů, zavedl spoustu značení. Trochu moc na můj vkus,
ale to není tak podstatné. Věty formuloval pečlivěji a skromněji, přidal nějaké předpoklady (poučen předchozím protipříkladem). A opět uvedl
nějaké aplikace na Nashovy rovnováhy. Práce s literaturou je však podobná jako v předchozím článku, i když v menším rozsahu. A hlavní věta je opět špatně,
protipříklad není moc těžký, vlastně je drobnou modifikací jednoho standardního příkladu, který je znám každému, kdo trochu rozumí příslušným
partiím matematiky. Článek byl opět zamítnut.
- Docela by mne zajímalo, zda publikované články tohoto ekonoma jsou po matematické stránce správně. Ale možná ano. Na jeden jsem se namátkou
zběžně podíval a vypadalo to, že žádné pokročilé partie matematiky nepoužívá. Takže nebezpečí neporozumění je výrazně menší. Ale nekontroloval
jsem to, nemám tolik času. A také by mne zajímalo, jak je to s matematicko-ekonomickými články jiných ekonomů. Možná, že tento je výjimkou;
možná, že se jen pokoušel použít příliš pokročilou matematiku. Ale určité pochybnosti zůstávají.
- Jednou z módních oblastí matematizované ekonomie je teorie globálních her. Něco jsem se o ní dověděl díky
jednomu studentovi, který mne požádal, abych vedl jeho bakalářskou práci na toto téma. Při četbě jeho práce
jsem narazil na netriviální problémy s matematickou korektností některých aspektů této teorie. Tyto problémy
tam ovšem nevnesl onen student, byly obsaženy již v literatuře, ze které vycházel. Pokusím se nyní částečně vysvětlit,
o co přibližně jde:
- Jsou nějací hráči, kteří se rozhodují, zda investovat nebo neinvestovat. V případě, že investují, mohou buď vydělat
nebo prodělat. V případě, že neinvestují, nic nezískají ani neztratí. Jejich cílem je maximalizovat zisk. Protože
však výsledek závisí i na chování ostatních, maximalizují střední hodnotu zisku (tomu se někdy říká očekávaný
zisk, což je překlad zavádějícího, ale standardně užívaného anglického termínu expected value).
- Úspěšnost investice závisí na dvou věcech - na stavu ekonomiky, který je vyjádřen číslem označovaným θ,
a na tom, kolik hráčů se rozhodne investovat. Tedy, zhruba řečeno, pokud je θ i procento investujících dostatečné,
investice jsou úspěšné; pokud nejsou hodnoty dostatečné, investice neuspějí.
- A jak se hráči rozhodují? Každý z nich má soukromý signál x o stavu ekonomiky. Na základě tohoto
signálu odhadne stav ekonomiky a procento hráčů, kteří stav ekonomiky považují za dost dobrý pro investici. Podle tohoto
odhadu se rozhodne investovat či neinvestovat (porovná střední hodnotu zisku při investování a při neinvestování
a zvolí přístup, který zaručí vyšší hodnotu).
Tolik základní ekonomické předpoklady modelu. Nechci diskutovat o jejich realističnosti a smysluplnosti. To přenechám
jiným. Chci poukázat na problémy v matematickém zpracování modelu. Pokud jsou hráči dva, tři, padesát nebo tisíc
(tedy konečný počet), pak se tyto předpoklady dají dobře matematizovat, pravidlo pro rozhodnutí se dá
přesně matematicky zformulovat (a možná se dá i něco spočítat). Nicméně v ekonomické literatuře se vyskytuje
i následující přístup:
- Mějme kontinuum hráčů míry jedna.
- Každý hráč i má soukromý signál xi. Tyto signály jsou nezávislé stejně rozdělené
náhodné veličiny.
- Investice je úspěšná, pokud stav ekonomiky bude alespoň θ* a zároveň se alespoň p0
hráčů rozhodne investovat.
- Nyní se uvažuje takto: Nechť x* je dané číslo. Je-li pravděpodobnost toho,
že xi≤x* rovna p, pak p hráčů obdrží signál nejvýše rovný x*.
- A pak se počítají střední hodnoty a porovnávají se.
Problémem tohoto přístupu je fakt, že pro něj neexistuje adekvátní matematický model.
Podrobněji:
- Matematickým modelem pro první bod je neatomický pravděpodobnostní prostor. Takových prostorů je mnoho, není zřejmé, jaký by se měl zvolit.
Autoři asi implicitně volí interval [0,1] s Lebesgueovou mírou. Nevím sice proč (zda je důvod jiný než
ten, že jiný prostor neznají), ale dejme tomu.
- I druhý bod by se dal přidat - máme systém nezávislých stejně rozdělených náhodných veličin indexovaných
body intervalu [0,1] (nebo obecněji body nějakého neatomického pravděpodobnostního prostoru). Proč ne,
je možné to definovat a studovat. Ale není vůbec jasné, jak by struktura intervalu [0,1] (pravděpodobnostního
prostoru) měla souviset s chováním oněch nezávislých veličin.
- Klíčová věc je, že čtvrtý bod je v tomto kontextu nesmyslný. Není žádný matematický důvod, aby taková
věc platila. Pro model je tento bod ovšem klíčový.
Domnívám se, že vím, jak tyto matematicky nesmyslné předpoklady vznikly z předpokladů matematicky rozumných:
- Kontinuum hráčů je samozřejmě nesmysl, hráčů je vždy konečný počet. Předpokládá se, že hráčů je hodně, tedy sice konečně
mnoho, ale tolik, že váha jednoho hráče je témeř nulová.
- Mějme N stejně rozdělených nezávislých náhodných veličin xi, kde N je hodně velké.
Pokud pravděpodobnost toho, že xi≤x* je rovna p, pak s velkou pravděpodobností
je počet těch i, pro která je xi≤x* roven přibližně pN.
Toto je přibližná formulace jednoho ze zákonů velkých čísel. Dá se formulovat přesně (tj. specifikovat, co přesně znamená
ta velká pravděpodobnost a přibližná rovnost). To pravděpodobně vedlo k formulaci čtvrtého bodu.
- Autoři asi uvažují limitní případ. Ale problémem je, zda takový limitní případ vůbec existuje. Limitní případ
je uvažován jen jaksi intuitivně, bez vysvětlení, jak se z přibližných rovností stanou přesné a proč.
Zejména je nejasné, jak se z přibližně pN hráčů stane podmnožina intervalu [0,1] Lebesgueovy míry
p.
Proto články
sice obsahují spoustu výpočtů jakýchsi integrálů, a přece jsou matematicky nevěrohodné.
- Lze situaci nějak napravit? Možná. Jsou dvě cesty. Jedna z nich je model řešit pro konečný počet hráčů,
a až pak zkoumat limitní chování výsledků pro počet hráčů rostoucí do nekonečna. Při tom by šlo aplikovat
již existující matematické věty. Druhou cestou by bylo se pokusit vytvořit matematicky korektní model
limitního případu a ten pak studovat. K tomu jsem spíše skeptický, ale nemohu vyloučit, že by to šlo.
Jaký je závěr? Nejde o použití matematiky. Jde o imitaci matematiky, nikoli její použití. Je možné namítnout,
že podobný přístup používají i fyzikové. Že také někdy imitují použití matematiky, dají se uvádět příklady.
Něco na tom je, ale přesto je v přístupu fyziků a zmíněných ekonomů podstatný rozdíl. Fyzikové používají matematické
teorie k vysvětlení empirických pozorování a měření. Někdy k tomu nestačí již existující matematické teorie,
a tak fyzikové do doby, než jsou vytvořeny, používají matematicky nekorektní úvahy a výpočty. Nicméně je nepoužívají
libovolně a předpokládají, že nějak korektní být musí, protože výsledky odpovídají pozorováním a měřením.
Často je pak skutečně vytvořena matematická teorie, v jejímž rámci jsou ony úvahy a výpočty korektní. Naproti tomu
zmíněné ekonomické modely jsou spíše spekulativní než popisné, a proto použití (byť možná jen zatím) matematicky
nekorektních úvah a výpočtů není ospravedlnitelné.
- Ještě jedna perlička: Alpha C. Chiang v knize Elements of Dynamic optimization
uvádí model, který má popisovat vzájemné působení inflace a nezaměstanosti. Cílem tohoto
modelu je minimalizovat jistým způsobem definovanou funkci společenské ztráty v jistém
časovém období.
Vláda toho má dosáhnout vhodnou volbou předpokládané míry inflace. Matematicky uvedená
úloha smysl dává, ekonomickou smysluplnost komentovat nebudu (i když určité podivnosti
tam vidím, včetně obrácení kauzality). Tato úloha je v knize řešena ve dvou variantách.
- V první variantě se požaduje, aby předpokládaná míra inflace na konci uvažovaného časového
období byla nulová.
- Ve druhé variantě takový požadavek není, je to tzv. úloha s volným koncem.
První varianta je v knize vyřešená, stejně tak i druhá varianta. Přitom je diskutována
otázka, jaká vyjde optimální předpokládaná míra inflace na konci období ve druhé variantě,
kdy se nepožaduje, aby byla nulová. Ve vydání z roku 1992 autor tvrdí, že vyjde automaticky
nulová. A dodává, že to není překvapivé (asi s myšlenkou, že nejlepší je nulová inflace).
Nicméně tomu tak není. Když se to pokusíte spočítat, nula nevyjde, vyjde cosi jiného.
Upozornili mne na to studenti, kteří si o této úloze připravovali referát. V novějším
vydání autor chybu opravil, a dodal opět nějaké ekonomické zdůvodnění.
O čem to svědčí? Početní chybu jistě může udělat každý. Ale říkat o libovolném výsledku,
že je přece jasné, že to tak mělo vyjít, nepůsobí příliš důvěryhodně.
- Co z toho všeho plyne? Odpověď na otázku, zda a nakolik se má matematika v ekonomii používat, nechám
na ekonomech. Ale myslím si, že je jasné, že chtějí-li ekonomové matematiku používat, musí jí rozumět.
Tomáš Sedláček ve své knize někde píše, jak někteří ekonomové vytvářejí matematické modely: Určí si, co jim má vyjít,
podle toho zvolí předpoklady modelu, provedou matematické abrakadabra, a dostanou kýžený výsledek.
Na základě uvedených příkladů dodávám, že to, co provedou, není ani tak matematické, jako abrakadabra.
Proto, když učím matematiku ekonomy, snažím se je učit opravdu matematiku, nikoli provozování abrakadabra.
A tak odmítám návrhy těch, kteří chtějí jen tzv. "praktické znalosti", a kteří matematice nechtějí rozumět.