MFF UK

Obecné informace a odkazy

Konzultační hodiny během semestru: dle individuální domluvy.


Sbírka příkladů z matematické analýzy - sestavil Pavel Pyrih

Archiv příkladů ke cvičením

Archiv zkouškových písemek

Důkazy některých tvrzení

Postřehy zkoušejícího, které by mohly být užitečné pro studenty, kteří chtějí studovat.

Odpovědi na některé připomínky studentů IES

Pane učitel, půjčte mi pytel.
Co se naučim, do něho strčím.
lidové říkadlo

Cvičení z Funkcionální analýzy 1

Informace ve Studijním informačním systému


Obsah cvičení

4.11.: Bochnerův integrál - výpočet pomocí prvků duálu; výpočet integrálu z funkce x↦χ[0,x] do prostoru Lp[0,1] pro p<∞; neměřitelnost a slabá měřitelnost pro p=∞; výpočet integrálu s hodnotami v C[0,1]; Pettisův integrál, pettisovsky integrovatelné funkce, co nejsou bochnerovsky integrovatelné, vztah k absolutní a bezpodmínečné konvergenci.


12.11.: Vztah Bochnerova a Pettisova integrálu k absolutní a bezpodmínečné konvergenci (dokončení); Banachovy algebry - přenormování, aby jednotka měla normu 1; algebra Cn s lp-normou a její přenormování; algebra lp(Γ); přidání jednotky k algebře bez jednotky i k algebře s jednotkou; jednotka v podalgebře nemusí být jednotkou ve větší algebře (např. pro matice); alternativní normy na algebře s přidanou jednotkou (např. na algebře kompaktních operátorů s přidanou identitou); kartézský součin algeber; algebra spojitých funkcí s hodnotami v Banachově algebře; algebra matic, jejichž prvky jsou prvky dané Banachovy algebry


18.11.: Lokálně kompaktní abelovské grupy, Haarova míra, konvoluční algebra L1(G), algebra M(G); algebry s více levými (nebo pravými) jednotkami, algebra s triviálním součinem a její reprezentace v algebře operátorů, spektrum v algebře bez jednotky, spektrum vůči podalgebře může být větší.


25.11.: Spektrum vůči podalgebře může být větší (dokončení příkladu), holomorfní kalkulus v algebře spojitých funkcí, v algebře matic (pro diagonální matici, Jordanovu buňku, pro obecnou matici, závislost nejen na hodnotách na spektru, aplikace na exponenciálu matice), spektrum v algebře l1(Zm), holomorfní kalkulus v algebře l1(Z2).


2.12.: V algebře matic nejsou netriviální oboustranné ideály, jsou tam jednostranné ideály, popis komplexních homomorfismů na algebře C(K) (jsou to evaluační funkcionály - důkaz s použitím Rieszovy věty a důkaz bez použití Rieszovy věty), komplexní homomorfismy na algebře l1(G) jako grupové homomorfismy G→T, konkrétní popis pro grupu Z a Zm.


8.12.: Popis duálních grup k Q, Zn, Z(N) aj., Gelfandova transformace na algebře l1(G) a speciálně na l1(Z), vztah k funkcím a absolutně konvergentní Fourierovou řadou; komplexní homomorfismy na algebře bez jednotky, komplexní homomorfismy na algebře L1(G) jako spojité grupové homomorfismy G→T.


16.12.: Popis duální grupy k R, Gelfandova a Fourierova transformace; popis duální grupy k T, Gelfandova transformace a Fourierovy řady; l1(Z) není C*-algebra ani po změně normy; spojitý kalkulus na algebře C(K).


6.1.: Charakterizace normálních matic a funkční kalkulus pro ně, absolutní hodnota prvku C*-algebry, polární rozklad operátoru na Hilbertově prostoru, aplikace polárního rozkladu k určení Schmidtovy reprezentace kompaktního operátoru, vlastnosti kompaktního operátoru v závislosti na Schmidtově reprezentaci, spektrum operátoru T(f)(x)=f(-x).


13.1.: Spektrální rozklad operátoru T(f)(x)=f(-x) a obecně symetrie, spektrální rozklad Plancherelovy transformace, unitární ekvivalence s operátorem násobení - pro předchozí dva případy, postup důkazu pro případ existence cyklického vektoru, aplikace na operátor posunu na l2(Z).