Cvičení k přednášce
Teorie míry a integrálu II (2013):
(duben)
Cvičení 7 (1.4.) : Odpadlo - velikonoční pondělí (nejde o Apríl !)
Cvičení 8 (8.4.) : Další příklady na záměnu integrace a sčítání řady, komentář k vybraným příkladům. Procvičování příkladů na Fubiniovu větu, úmluva o formulaci (". . . omezená křivkami . . ." apod.). Výhodnost možnosti volby jednorozměrných integrací. Příklady jsou pracné, je nutno počítat samostatně doma. Ohlášena písemka na "integraci posloupností a řad"
Cvičení 9 (15.4.) : Krátká písemka. Záměnnost pořadí integrace. Návod k příkladům (52) a (96), měly by se dopočítat doma, vyžadují mj. i více času na zpracování a v (96) i využití dřívějších výsledků; zadání obsahuje vcelku podrobný návod. Kombinace postupů, vícerozměrná integrace s využitím vzorců. Na příště: integrály závislé na parametru. Zde je zadání písemky (*.pdf) a zde krátký komentář k výsledkům ve dvou formátech (*.doc a *.pdf).
Cvičení 10 (22.4.) : Seznámení s výsledky písemky. Příklady (53), (54), zobecněné polární ("eliptické") a zobecněné sférické ("elipsoidální") souřadnice, použití. Jednoduché příklady na spojitost dle parametru (význam lokální existence integrovatelné dominanty). Příklady (55) - (59), začátek vyšetřování Gama-funkce (61). Věty o parametru (spojitost, derivování). Na příště: příklady na parametr.
Cvičení 11 (29.4.) : Gama funkce - shrnutí vlastností: vztah k faktoriálům, funkcionální rovnice, jednoznačnost a logaritmická konvexita. Konvergence integrálu, spojitost a diferencovatelnost, gama funkce má spojité derivace všech řádů. Možnost rozšíření na R \setminus {-N}, eventuálně možnost komplexního rozšíření. Poznámka o Eulerově přístupu k Basilejskému problému. Eulerův integrál 2. a 1. druhu. Parametr. Jednoduchý příklad (60). Integrace dle parametru. Příklady (85) a (86) - dopočítat doma.
Předcházející cvičení: (únor 2013, březen
2013)
Další cvičení: (květen 2013)
Úlohy pro cvičení/samostatné procvičování (seznam úloh)