DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE na MFF UK
DGI

Deskriptivní geometrie I

Studijní materiály vystavené na těchto stránkách byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ 2013.
Stránky jsou ve výstavbě, plně funkční budou až od ledna 2014!

V rámci planimetrie se v předmětu DGI kromě stručného opakování středoškolské látky probírají i některá témata, s nimiž se středoškolák až na výjimky nesetká. V následujících odstavcích je uveden stručný seznam probíraných témat a k tématům přesahujícím látku SŠ je doplněn učební text.

Předpokladem k úspěšnému absolvování předmětu je znalost středoškolské planimetrie v rozsahu učebnice pro gymnázia [1]. Na následujících příkladech si můžete ověřit, zda jsou vaše znalosti dostatečné. U všech úloh zapište popis konstrukce a zamyslete se nad počtem řešení!

Sylabus

1) Opakování středoškolské látky: bod, přímka, incidence, svazek přímek, kolmost přímek, konstrukce mnohoúhelníků, euklidovské konstrukce, Euklidovy věty a Pythagorova věta, shodná a podobná zobrazení v rovině, kružnice, tečna ke kružnici, společné tečny dvou kružnic, středový a obvodový úhel, Thaletova kružnice.

2) Nadstavbu nad středoškolskou planimetrií tvoří témata: dělicí poměr, Meneláova a Cevova věta, zlatý řez, konstrukce pravidelného pětiúhelníku, mocnost bodu ke kružnici, chordála.

Dělicí poměr

Pro rovnoběžná promítáni je velmi důležitý pojem dělicího poměru.

Nechť A, B, C jsou tři body ležící na téže přímce (A ≠ B, C ≠ B). Dělicí poměr bodu C vzhledem k bodům A, B v daném pořadí je reálné číslo λ, pro něž platí:
a) jeho absolutní hodnota je rovna podílu |AC|:|BC|;
b) je kladné, je-li C vnějším bodem úsečky AB, je záporné, je-li C vnitřním bodem úsečky AB.

Dělicí poměr je možno definovat také tak, že zavedeme na přímce AB orientaci a číslo λ pak bude rovno podílu velikostí orientovaných úseček. Pro vnitřní body AB budou úsečky AC a BC opačně orientované a podíl jejich velikostí bude záporné číslo, pro vnější body budou tyto úsečky shodně orientované a dělicí poměr bude tedy kladný. V následujícím appletu zkuste pohybovat bodem C a sledujte, jak se mění hodnota jeho dělicího poměru.

Dělicí poměr - GeoGebra Dynamický pracovní list

Toto je Java applet vytvořený pomocí GeoGebra z www.geogebra.org - nejspíš nemáte nainstalovanou Javu, naleznete ji na www.java.com

Body A, B nazýváme základními body. Dělicí poměr bodu C vzhledem k základním bodům A, B značíme (ABC) a platí tedy:

Image

ImageNa následujícím obrázku jsou na přímce AB znázorněny body C1, C2, C3. Všimněte si polohy jednotlivých bodů vzhledem k základním bodům A, B. Jejich dělicí poměry splňují nerovnosti
(ABC1) < 0,
(ABC2) > 1,
0 < (ABC3) < 1.

Příklad: V předchozím obrázku jsou na přímce AB naznačeny jednotky. Vypočítejte podle definice dělicí poměry bodů C1, C2, C3.

Podívejme se na dělicí poměry některých významných bodů na přímce AB.
1) Pokud bod C splývá s prvním základním bodem A, je |AC| = 0 a tedy i (ABC) = 0.
2) Je-li bod C středem úsečky AB, platí |AC| = |BC| ∧ C leží mezi body A, B, tj. (ABC) = -1.
3) Pro C = B dělicí poměr není definován.

Věta: Ke každému bodu C (C ≠ B) přímky AB existuje právě jeden dělicí poměr (ABC) = λ, λ ≠ 1.

Věta: Ke každému reálnému číslu λ (λ ≠ 1) existuje na přímce AB právě jeden bod C takový, že platí (ABC) = λ.

Sestrojení bodu C ležícího na přímce AB tak, že (ABC) = λ (λ ≠ 1) je patrné z následujícího appletu. Body A, B vedeme navzájem různé rovnoběžné přímky a sestrojíme na nich body X, Y tak, aby platilo |AX| = |λ|, |BY| = 1. Pro kladné hodnoty λ vynášíme body X, Y do téže poloroviny s hraniční přímkou AB, pro záporné hodnoty λ vynášíme body X, Y do opačných polorovin. Hledaný bod C sestrojíme jako průsečík přímek AB a XY. Z podobnosti trojúhelníků ACX, BCY plyne |AC|/|BC| = |AX|/|BY| = |λ|/1. V appletu můžete měnit polohu rovnoběžných přímek pohybem bodu M, změnou polohy bodu X volíte různé hodnoty dělicího poměru λ.

Delici pomer konstrukce bodu - GeoGebra Dynamický pracovní list

Toto je Java applet vytvořený pomocí GeoGebra z www.geogebra.org - nejspíš nemáte nainstalovanou Javu, naleznete ji na www.java.com

Dělicí poměr nezávisí na volbě jednotkové úsečky, závisí však na pořadí bodů A, B, C, jak plyne z následující věty:

Věta: Nechť A, B, C jsou tři různé kolineární body, pro něž je (ABC) = λ. Potom platí:
(ABC) = λ, (ACB) = 1 - λ, (BAC) = 1/λ, (BCA)= 1 - 1/λ, (CBA) = λ/(λ - 1), (CAB) = 1/(1 - λ).

Následující dvě věty mají v deskriptivní geometrii široké uplatnění.

Věta: Nechť A, B, C jsou tři různé body na přímce p a A', B', C' jsou jejich rovnoběžné průměty na přímku p' (p'p). Potom platí (ABC) = (A'B'C').

ImageDůkaz: Body A, B vedeme pomocné přímky rovnoběžné s přímkou p'. Jejich průsečíky s přímkami BB', resp. CC' označme X, Y, Z, viz následující obrázek.
Trojúhelníky AZC a BYC jsou podobné.
Dále platí |AX| = |A'B'|, |AZ| = |A'C'|, |BY| = |B'C'|.
Z toho vyplývá |(ABC)| = |AC|/|BC| = |AZ|/|BY| = |A'C'|/|B'C'| = |(A'B'C')|.
Při rovnoběžném promítání se zachovává pořadí bodů na přímce, předchozí vztah tedy platí i bez absolutní hodnoty, tj. (ABC) = (A'B'C').

Velmi užitečným důsledkem této věty je například to, že v rovnoběžných promítáních se střed úsečky zobrazí opět na střed úsečky. Rovněž nám tato věta dává návod, jak ještě můžeme jiným způsobem zkonstruovat bod, jehož dělicí poměr ke dvěma daným bodům je roven λ, jak je vidět z následujících obrázků.

Image

Věta: Nechť A, B, C jsou tři různé body na přímce p a A', B', C' jsou jejich středové průměty na přímku p' (p'p). Potom (ABC) = (A'B'C') právě tehdy, když p || p'.

Důkaz: Důkaz rozdělíme do dvou kroků.

Image Předpokládejme nejprve, že p || p' (p ≠ p'), chceme dokázat, že (ABC) = (A'B'C').
Uvažujme stejnolehlost se středem v bodě S, která zobrazí bod A do bodu A'. Koeficient této stejnolehlosti označme k. V této stejnolehlosti se přímka p zobrazí do přímky rovnoběžné s přímkou p, procházející bodem A', tedy do přímky p'. Obrazem bodů B, C budou body B', C' na přímce p'. Obrazem úseček AC, BC jsou úsečky A'C', B'C', platí tedy:
|A'B'| = |k|·|AB|
|A'C'| = |k|·|AC|
|B'C'| = |k|·|BC|
\frac{|A'C'|}{|B'C'|} = \frac{|k|·|AC|}{|k|·|BC|} = \frac{|AC|}{|BC|}
Je-li C vnitřním (vnějším) bodem úsečky AB, je i C' vnitřním (vnějším) bodem úsečky A'B'. Platí tedy (ABC) = (A'B'C').

Image Nyní předpokládejme, že přímky p a p' jsou různoběžné a p' neprochází žádným z bodů A, B, C.
Bodem A vedeme přímku p1 || p'. Středové průměty bodů B, C z bodu S na přímku p1 označme B1, C1.
Již víme, že (A'B'C') = (AB1C1).
Označme dále C2 průsečík přímky p1 s přímkou vedenou bodem C rovnoběžně s SB.
Podle předchozí věty platí (ABC) = (AB1C2).
Je zřejmé, že C1C2 a tedy (AB1C1) ≠ (AB1C2).
Odtud plyne (ABC) ≠ (A'B'C').

Příklad:

na začátek

Meneláova a Cevova věta

S pojmem dělicí poměr úzce souvisí následující dvě věty. Ukážeme si, že mají řadu užitečných důsledků, s nimiž jste se možná již setkali na střední škole.

Meneláova věta: Je dán trojúhelník ABC. Nechť K, L, M jsou po řadě body na přímkách AB, BC, CA (A, B, CK, L, M). Potom platí, že body K, L, M jsou kolineární právě tehdy, když platí (ABK)·(BCL)·(CAM) = 1.

GeoGebra Dynamický pracovní list

Toto je Java applet vytvořený pomocí GeoGebra z www.geogebra.org - nejspíš nemáte nainstalovanou Javu, naleznete ji na www.java.com

V appletu je možno měnit polohu bodů K (∈ AB), M (∈ CA), bod L je sestrojen jako průsečík přímek p (KM) a BC. Z přiloženého výpočtu lze usoudit, že hodnota součinu dělicích poměrů je skutečně nezávislá na poloze přímky p. Pokusme se tuto část Menelaovy věty dokázat.

Částečný důkaz: Předpokládejme, že jsou body K, L, M kolineární, dokážeme, že platí (ABK)·(BCL)·(CAM) = 1. Všechny body rovnoběžně promítneme ve směru přímky p na přímku BC (CC, BB, AX, LL, ML, KL). Rovnoběžné promítání zachovává dělicí poměr, platí tedy:
|(ABK)|·|(BCL)|·|(CAM)| = \frac{|AK|}{|BK|}·\frac{|BL|}{|CL|}·\frac{|CM|}{|AM|} = \frac{|XL|}{|BL|}·\frac{|BL|}{|CL|}·\frac{|CL|}{|XL|} = 1
Pokud přímka protne trojúhelník, protne právě dvě jeho strany. Dva dělicí poměry budou proto záporné a jeden kladný, jejich součin bude kladný (ABK)·(BCL)·(CAM) = 1. Pokud přímka trojúhelník neprotne, budou všechny dělicí poměry kladné a tedy i jejich součin bude kladný.
Kompletní důkaz včetně opačné implikace najdete např. v [1].

Příklad: Je dán trojúhelník ABC a přímka p, různoběžná se stranami trojúhelníku, neprocházející žádným z jeho vrcholů. Označme K, L, M průsečíky přímky p s přímkami BC, AC, AB, v tomto pořadí. (BCK) = –1/2; (CAL) = –3. Vypočítejte (ABM).

Cevova věta: Je dán trojúhelník ABC. Nechť K, L, M jsou po řadě body na přímkách AB, BC, CA, které nesplývají s žádným z bodů A, B, C. Potom přímky CK, BM, AL jsou navzájem rovnoběžné, nebo procházejí týmž bodem právě tehdy, když (ABK)·(BCL)·(CAM) = –1.

GeoGebra Dynamický pracovní list

Toto je Java applet vytvořený pomocí GeoGebra z www.geogebra.org - nejspíš nemáte nainstalovanou Javu, naleznete ji na www.java.com

V appletu lze měnit polohu bodů K, L, bod M je sestrojen tak aby se přímky AL, BM a CK protínaly v jednom bodě. V přiloženém výpočtu pracujeme s podíly velikostí úseček, výsledný součin je tedy narozdíl od součinu dělicích poměrů roven +1.

ImageČástečný důkaz: (pro případ, kdy K, L, M jsou vnitřní body stran trojúhelníku):
Předpokládejme, že přímky CK, AL, BM se protínají v jednom bodě, dokážeme, že pak platí (ABK)·(BCL)·(CAM) = –1.
Označme P, Q, R, S, T, U obsahy trojúhelníků znázorněných na obrázku. Uvažujme trojúhelníky AKC a KBC. Oba mají stejnou výšku, pro poměr jejich obsahů tedy platí:
\frac{T+U+P}{S+R+Q} = \frac{|AK|}{|BK|} = |(ABK)| = \frac{P}{Q} = \frac{T+U}{S+R}
Obdobně pro trojúhelníky BLA a LCA platí:
\frac{P+Q+R}{S+T+U} = \frac{|BL|}{|CL|} = |(BCL)| = \frac{R}{S} = \frac{P+Q}{U+T}
Do třetice pro trojúhelníky CMB a MAB platí:
\frac{T+S+R}{U+P+Q} = \frac{|CM|}{|AM|} = |(CAM)| = \frac{T}{U} = \frac{S+R}{P+Q}
|(ABK)|·|(BCL)|·|(CAM)| = \frac{T+U}{S+R} ·\frac{P+Q}{U+T} ·\frac{S+R}{P+Q} = 1
Jsou-li body K, L, M vnitřními body stran trojúhelníku, jsou všechny tři dělicí poměry záporné. Platí tedy: (ABK)·(BCL)·(CAM) = -1.
V případě, kdy jsou přímky CK, BM, AL navzájem rovnoběžné je důkaz snadný. Rada: promítneme všechny body ve směru rovnoběžných přímek na libovolnou stranu trojúhelníku.

Některé důsledky Cevovy věty:
1. Těžnice v trojúhelníku se protínají v jednom bodě (těžiště).
2. Spojnice vrcholů trojúhelníku s protilehlými body dotyku vepsané kružnice se protínají v jednom bodě (Gergonneův bod).
3. Totéž platí i pro kružnice připsané (Nagelův bod).
4. Výšky v trojúhelníku se protínají v jednom bodě (ortocentrum).
5. Osy úhlů v trojúhelníku se protínají v jednom bodě.

Pokuste se předchozí věty dokázat s použitím Cevovy věty. Některé důkazy je možno nalézt zde.

na začátek

Zlatý řez

Zlatý řez vznikne rozdělením úsečky na dvě části tak, aby poměr celé úsečky ku její větší části byl stejný jako poměr větší části k menší. Tento poměr je konstantní (nezávislý na velikosti dělené úsečky), nazývá se zlaté číslo a značí se písmenem φ.

Image

Uvažujme tři různé kolineární body A, B, C (C je vnitřní bod úsečky AB, přičemž |AC| < |CB|). Velikost úsečky AB označme a, velikost CB označme x. Pokud bod C dělí úsečku AB ve zlatém řezu, musí platit:
\frac{|AB|}{|BC|}=\frac{|BC|}{|AC|} neboli \frac{a}{x}=\frac{x}{a-x}.
Budeme-li a považovat za jednotku délky (tj. |AB| = a = 1), můžeme pomocí předchozí rovnice odvodit hodnotu zlatého čísla.
\frac{1}{x}=\frac{x}{1-x} x^2+x-1=0x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}, x_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}
Druhý kořen nemůže vyjadřovat délku úsečky, jelikož je záporný. Našim potřebám tedy vyhovuje pouze kořen x1, jehož hodnota je přibližně 0,618. Zlaté číslo je rovno podílu a/x, tj. φ=\frac{2}{-1+\sqrt{5}}\dot{=}1,618 .

ImageKonstrukce zlatého řezu:
Jeden z řady způsobů konstrukce zlatého řezu je znázorněn na obrázku vpravo.
Opět předpokládejme, že |AB| = a. Sestrojíme bod D tak, že |AD| = a/2 ∧ |AD| ⊥ |AB|. Dále sestrojíme kružnici k(D; |AD|) a najdeme její průsečík E s úsečkou BD. Kružnice m(B; |BE|) protne úsečku AB v hledaném bodě C. Pokuste se sami ověřit správnost této konstrukce.

Zlatý řez byl a je mnoha lidmi považován za ideál krásy a harmonie a proto se s ním můžeme setkat v malířství, sochařství, v architektuře či fotografii, při troše fantazie najdeme zlaté číslo i při zkoumání některých živých organizmů. Více o zlatém řezu a jeho užití můžete nalézt např. v [1] a [1].

na začátek

Konstrukce pravidelného pětiúhelníku

Se zlatým řezem velmi úzce souvisí pravidelný pětiúhelník. Platí například, že průsečík dvou úhlopříček dělí každou z nich v poměru zlatého řezu, poměr délky úhlopříčky a strany v pravidelném pětiúhelníku je roven zlatému číslu.

Image

Uvažujme kružnici k pětiúhelníku opsanou. Její střed označme S, koncové body libovolného průměru označme A, B (viz obrázek výše). Sestrojme bod C takový, že CkSCAB, a bod D jako střed úsečky SB. Dále sestrojíme kružnici o středu v bodě D a poloměru DC a najdeme její průsečík E s úsečkou AS. Velikost úsečky CE (ES) je rovna délce strany pravidelného pětiúhelníku (desetiúhelníku) vepsaného kružnici k. Označíme-li r poloměr kružnice k, můžeme pouze s použitím Pyhtagorovy věty odvodit vztahy:
a_{10}=r\cdot\frac{-1+\sqrt{5}}{2}
a_{5}=r\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{2}}
Pravidelný pěti, resp. desetiúhelník lze složit z pěti, resp. deseti rovnoramenných trojúhelníků, jejichž ramena mají délku r a svírají úhel 72° resp. 36°. Pro ověření výše uvedené konstrukce stačí tedy dokázat, že tyto rovnoramenné trojúhelníky mají za základnu úsečku o velikosti a5, resp. a10.

na začátek

Mocnost bodu ke kružnici, chordála

Představíme si vlastnost, kterou využijeme při různých konstrukčních úlohách o kružnici a později i při konstrukcích kuželoseček zadaných ohniskem a dalšími jednoduchými podmínkami. Začněme jednoduchou motivační úlohou:

V rovině je dána kružnice k(S, r) a libovolný bod M. Zvolme libovolnou sečnu kružnice k procházející bodem M. Její průsečíky s kružnicí k označme A, B. Nad úsečkou MA sestrojme obdélník o stranách délky |MA|, |MB|. Ukážeme si, že velikost obsahu tohoto obdélníku je nezávislá na volbě polohy sečny kružnice k.

V následujícím appletu můžete měnit polohu sečny pohybem bodu A. Rovněž můžete měnit polohu bodu M, abyste viděli, že popsaná vlastnost neplatí pouze pro vnější body kružnice k. Mocnost bodu ke kružnici - motivace - GeoGebra Dynamický pracovní list

Toto je Java applet vytvořený pomocí GeoGebra z www.geogebra.org - nejspíš nemáte nainstalovanou Javu, naleznete ji na www.java.com

Výše popsanou vlastnost lze zformulovat také takto:

Věta: Součin úseků na sečnách kružnice k(S, r) procházejících daným bodem M je konstantní. Tyto úseky měříme na sečnách od bodu M k jejím průsečíkům s kružnicí k.

Image

Náznak důkazu: Proložme bodem M dvě takové sečny a označme A, B, resp. C, D jejich průsečíky s kružnicí k. Z podobnosti trojúhelníků AMD a CMB plyne |MA||MB|=|MC||MD|=|k|, kde k je konstanta.

Tato konstanta (dosud jsme pracovali jen s její absolutní hodnotou) se nazývá mocnost bodu ke kružnici a lze ji definovat také takto:

V rovině je dána kružnice k(S, r) a bod M. Označme vzdálenost bodu M od středu S |MS| = v. Potom číslo m = v2 - r2 nazýváme mocnost bodu M ke kružnici k.
m > 0 pro vnější body kružnice k,
m < 0 pro vnitřní body kružnice k,
m = 0 pro body ležící na kružnici k.

Snadno nahlédneme, že pro danou kružnici k(S;r), bod M mimo ni a libovolnou sečnu AB kružnice k procházející bodem M platí |m| = |v2-r2| = |MA| · |MB|. Hodnota |MA| · |MB| nezávisí na volbě polohy sečny, zvolme tedy sečnu procházející středem kružnice k. Z následujícího obrázku je patrné, že platí |MA|·|MB| = |(v+r)·(v-r)| = |v2-r2|.

Předpokládejme, že M je vnější bod kružnice k. Je-li T bod dotyku tečny vedené bodem M ke kružnici k, platí navíc m = |MT|2.

Image

Věta: Všechny body kružnice l soustředné s kružnicí k mají ke kružnici k stejnou mocnost.

Příklad 1: Je dána kružnice k, přímka p, která je sečnou kružnice k a bod B, který je vnějším bodem kružnice k, Bp. Sestrojte na přímce p body, které mají stejnou mocnost ke kružnici k, jako bod B.

Příklad 2: Je dána kružnice k a přímka p. Sestrojte na přímce p bod M, jehož mocnost ke kružnici k je rovna 4. Kolik má daná úloha řešení v závislosti na poloze přímky p?

Příklad 3: Sestrojte kružnici, která prochází body A, B a dotýká se přímky p.

Řešeni příkladu 3 můžete nalézt zde.

Příklad 4: Jsou dány dvě kružnice k1(S1,r1), k2(S2,r2), které se protínají pod pravým úhlem, tj. tečny vedené z průsečíku kružnic jsou navzájem kolmé. Jakou mocnost má bod S1 ke kružnici k2 a bod S2 ke kružnici k1?

Příklad 5: Je dána úsečka AB o délce 8 cm a na ní bod M ve vzdálenosti 6 cm od bodu A. Dále je dán bod C takový, že |MC|=3 cm ∧ CAB, bod C tedy není určen jednoznačně. Označme D druhý průsečík přímky MC s kružnicí opsanou trojúhelníku ABC. Vypočítejte vzdálenost |MD|.

Poslední příklad je sice ze stereometrie, ale řešení lze jednoduše převést na planimetrickou úlohu s využitím mocnosti bodu ke kružnici.

Příklad 6: Kulová plocha κ protíná rovinu φ v kružnici k(A, a) a rovinu σ v kružnici l(B, b). Bod P je libovolný bod průsečnice rovin φ a σ. Vyjádřete rozdíl |PA|2 - |PB|2 pomocí poloměrů a, b.

Množina všech bodů, které mají stejnou mocnost ke dvěma nesoustředným kružnicím, se nazývá chordála.

Věta: Chordála je přímka ch kolmá na spojnici středů daných kružnic a platí
a) jestliže se dané kružnice protínají v bodech A, B, AB, je jejich chordálou společná sečna ch = AB,
b) jestliže se dané kružnice dotýkají v bodě T, pak je jejich chordálou společná tečna v bodě T,
c) jestliže kružnice nemají společný bod (vyjma soustředných kružnic), pak je chordála nesečnou každé z nich.

Image

Věta: Chordály vždy dvou ze tří kružnic, jejichž středy neleží na přímce, se protínají v jednom bodě, tzv. potenčním středu P.

Image

Příklad: Sestrojte kružnici, která prochází danými různými body A, B a dotýká se dané kružnice k(S,r).

Řešeni příkladu můžete nalézt zde.

na začátek

Společné tečny dvou kružnic

Konstrukce tečny kružnice, či společných tečen dvou kružnic jsou náplní středoškolské látky. My si zde kromě známých konstrukcí ukážeme ještě méně známé, avšak neméně zajímavé konstrukce.

Klasická konstrukce tečny ke kružnici k(S,r) z bodu Q, který na kružnici k neleží, vychází z konstrukce Thaletovy kružnice τ nad průměrem SQ. Víme, že tečna ke kružnici je kolmá na některý z průměrů kružnice, hledáme proto na kružnici k takové body T1, T2, z nichž je úsečka SQ vidět po úhlem 90°. Body dotyku tečen vedených z bodu Q ke kružnici k jsou tedy průsečíky kružnic k a τ.

Image

Konstrukce zobrazená na obrázku vpravo využívá toho, že bod S se v osové souměrnosti podle tečny zobrazí do bodu S1 (resp. S2), který umíme snadno zkonstruovat. Náleží totiž průniku kružnic m(Q, |QS|) a n(S, 2r). Body dotyku T1, T2 tečen sestrojíme jako průsečíky přímek SS1, SS2 s kružnicí.

Při konstrukci společných tečen dvou kružnic využíváme toho, že každé dvě kružnice v rovině jsou stejnolehlé. Společné tečny dvou kružnic (pokud existují) procházejí středem stejnolehlosti nebo jsou rovnoběžné se spojnicí středů kružnic (platí pro kružnice se stejným poloměrem). Stačí tedy najít příslušné středy stejnolehlosti obou kružnic. Body S1, S2 proložíme dva navzájem rovnoběžné průměry kružnic k1, k2. Hledané středy Q, Q' najdeme jako průsečíky spojnic odpovídajících si koncových bodů sestrojených průměrů. QE1E2E'1E'2, Q'E1E'2E'1E2. Body dotyku tečen již sestrojíme jednou z výše uvedených metod jako tečny ke kružnici vedené bodem Q, resp. Q'. Pro přehlednost jsou v obrázku zakreslena pouze dvě ze čtyř řešení.

Image

Ukážeme si ještě konstrukci společných tečen dvou kružnic pomocí tzv. "dilatační metody", která se často používá při řešení Apolloniových úloh. Zjednodušeně řečeno, dilatace je transformace, která zvětšuje, nebo zmenšuje poloměr kružnic o libovolně zvolenou konstantu q a posouvá dané přímky o vzdálenost q ve směru k nim kolmém. Je užitečné chápat bod jako kružnici s nulovým poloměrem, neboť při dilataci často s výhodou převádíme kružnici na bod.
Image Mějme dány kružnice k1(S1, r1), k2(S2, r2), kde r1r2 . Představme si, že již známe polohu hledané tečny t, její bod dotyku s kružnicí k1 označme T. Posuneme-li tuto tečnu ve směru TS1 o vzdálenost r2, přejde tečna t v tečnu vedenou bodem S2 ke kružnici n, soustředné s kružnicí k1, jejíž poloměr je roven r1 - r2. Bod T při této transformaci přejde do bodu T', který umíme snadno sestrojit.
Konstrukce společných tečen kružnic k1, k2 tedy spočívá v tom, že strojíme tečny, popř. pouze body dotyku tečen z bodu S2 ke kružnici n(S1, r1 - r2), resp. m(S1, r1 + r2) a tyto body posuneme zpět na kružnici k1 ve směru kolmém k tečnám. Pomocí kružnice n jsme nalezli tečny procházející vnějším středem stejnolehlosti obou kružnic, pomocné kružnici m odpovídají tečny procházejících vnitřním středem stejnolehlosti. Na obrázku jsou pro přehlednost opět znázorněna pouze dvě ze čtyř možných řešení.

na začátek