Požadavky ke zkoušce z předmětu Matematika III, ZS 2012/2013
Klíčové pojmy z Matematiky I
- supremum a infimum množiny reálných čísel
- limita posloupnosti
- limita funkce v bodě
- spojitost funkce v bodě
- derivace funkce v bodě
Klíčové pojmy z Matematiky II
- otevřená množina
- kompaktní množina
- maximum/minimum funkce na množině
- lokální maximum/minimum funkce
- parciální derivace
- funkce třídy C1
- konvexní množina
- konkávní funkce
- matice typu m×n
- součin matic
- determinant matice
- konvergentní řada
- Riemannův integrál
Klíčové pojmy
- primitivní funkce
- vektorový prostor
- vektorový podprostor
- lineární kombinace vektorů
- lineárně závislé vektory
- lineárně nezávislé vektory
- báze vektorového prostoru
- lineární zobrazení
- kvadratická forma
- pozitivně definitní symetrická kvadratická forma
- negativně definitní symetrická kvadratická forma
- pozitivně semidefinitní symetrická kvadratická forma
- pozitivně semidefinitní symetrická kvadratická forma
- indefinitní symetrická kvadratická forma
- vlastní číslo
- vlastní vektor
- Taylorův polynom k-tého řádu
- Taylorův polynom druhého řádu funkce více proměnných
Definice
- racionální funkce
- zobecněný Riemannův integrál
- nulový vektor
- opačný vektor
- podprostor generovaný vektory
- lineárně nezávislá množina vektorů
- dimenze vektorového prostoru
- jádro lineárního zobrazení
- symetrická matice
- diagonální matice
- symetrická elementární úprava
- symetrická transformace
- charakteristický polynom matice
- násobnost vlastního čísla
- ortogonální matice
- stopa matice
- idempotentní matice
- skalární součin
- norma
- Taylorova řada
- Hessova matice
- sedlový bod
Věty s lehčím důkazem
- o tvaru množiny ∫f(x)dx
- o existenci primitivní funkce
- Newtonův-Leibnizův vzorec
- o linearitě primitivní funkce
- o substituci
- integrace per partes
- o rozkladu polynomu na kořenové činitele
- o kořenech polynomu s reálnými koeficienty
- o rozkladu polynomu s reálnými koeficienty
- o substituci pro Riemannův integrál
- zavedení logaritmu
- spojitost Riemannova integrálu
- zobecněný Riemannův integrál omezené funkce na omezeném intervalu
- zobecněný Riemannův integrál nezáporné funkce
- zobecněný Riemannův integrál a nerovnosti
- Newtonův-Leibnizův vzorec pro zobecněný Riemannův integrál
- srovnávací kritérium konvergence zobecněného Riemannova integrálu
- kritérium pro bázi konečněrozměrného prostoru
- o řešení lineárních rovnic
- o definitnosti diagonální matice
- vlastnosti symetrické transformace
- definitnost a symetrická transformace
- o charakterizaci vlastních čísel
- o vlastních číslech symetrické matice
- definitnost a vlastní čísla
- definitnost symetrické idempotentní matice a vlastní čísla idempotentní matice
- hodnost idempotentní matice A a hodnost matice I-A
- o Taylorově polynomu se zbytkem v Peanově tvaru
- o jednoznačnosti Taylorova polynomu
- Taylorovy polynomy a řady elementárních funkcí
Věty s obtížnějším důkazem
- vlastnosti jádra a obrazu lineárního zobrazení
- o vyjádření transformace a symetrické transformace
- o převodu symetrické matice na diagonální
- o Taylorově polynomu se zbytkem v Lagrangeově tvaru
- o Taylorově polynomu druhého řádu funkce více proměnných
- nutné podmínky druhého řádu pro lokální extrém
- postačující podmínky druhého řádu pro lokální extrém
- charakterizace konkávních funkcí třídy C2
Věty bez důkazu
- o dělení polynomů
- o rozkladu na parciální zlomky
- zobecněný Riemannův integrál na podintervalech
- linearita zobecněného Riemannova integrálu
- limitní srovnávací kritérium konvergence zobecněného Riemannova integrálu
- o existenci báze vektorového prostoru
- spektrální rozklad matice
- rozklad idempotentní matice
- vlastnosti skalárního součinu
- vlastnosti normy
- postačující podmínka pro maximum