Požadavky ke zkoušce z předmětu Matematika III, ZS 2008/2009
Klíčové pojmy z Matematiky I
- supremum a infimum množiny reálných čísel
- limita posloupnosti
- limita funkce v bodě
- spojitost funkce v bodě
- derivace funkce v bodě
Klíčové pojmy z Matematiky II
- otevřená množina
- kompaktní množina
- maximum/minimum funkce na množině
- parciální derivace
- funkce třídy C1
- konvexní množina
- konkávní funkce
- matice typu m×n
- součin matic
- determinant matice
- konvergentní řada
- primitivní funkce
Klíčové pojmy
- horní Darbouxův součet
- dolní Darbouxův součet
- Riemannův integrál
- funkce stejnoměrně spojitá na intervalu
- vektorový prostor
- vektorový podprostor
- lineární kombinace vektorů
- lineárně závislé vektory
- lineárně nezávislé vektory
- báze vektorového prostoru
- lineární zobrazení
- bilineární forma
- pozitivně definitní symetrická bilineární forma
- negativně definitní symetrická bilineární forma
- pozitivně semidefinitní symetrická bilineární forma
- pozitivně semidefinitní symetrická bilineární forma
- indefinitní symetrická bilineární forma
- Taylorův polynom k-tého řádu
- Taylorův polynom druhého řádu funkce více proměnných
- lokální maximum
- lokální minimum
Definice
- dělení intervalu
- norma dělení
- zjemnění dělení
- horní Riemannův integrál
- dolní Riemannův integrál
- buňka
- objem buňky
- dělení buňky
- horní Darbouxův součet přes buňku
- dolní Darbouxův součet přes buňku
- horní Riemannův integrál přes buňku
- dolní Riemannův integrál přes buňku
- Riemannův integrál přes buňku
- Riemannův integrál přes množinu
- nulový vektor
- opačný vektor
- podprostor generovaný vektory
- lineárně závislá množina vektorů
- dimenze vektorového prostoru
- jádro lineárního zobrazení
- reprezentující matice bilineární formy
- symetrická bilineární forma
- symetrická matice
- diagonální matice
- symetrická elementární úprava
- symetrická transformace
- vlastní číslo
- vlastní vektor
- charakteristický polynom matice
- násobnost vlastního čísla
- ortogonální matice
- stopa matice
- skalární součin
- kolmé vektory
- norma vektoru
- Taylorova řada
- Hessova matice
- ostré lokální maximum
- ostré lokální minimum
- sedlový bod
Věty s lehčím důkazem
- o kořenech polynomu s reálnými koeficienty
- o rozkladu polynomu s reálnými koeficienty
- o spojitosti a Riemannově integrálu
- Newtonův vzorec
- zavedení logaritmu
- kritérium pro bázi konečněrozměrného prostoru
- o řešení lineárních rovnic
- o reprezentaci bilineárních forem
- o definitnosti diagonální matice
- o vyjádření transformace a symetrické transformace
- vlastnosti symetrické transformace
- definitnost a symetrická transformace
- o převodu symetrické matice na diagonální
- o charakterizaci vlastních číslech
- o vlastních číslech symetrické matice
- definitnost a vlastní čísla
- vlastnosti stopy
- Pythagorova věta
- o Taylorově polynomu se zbytkem v Peanově tvaru
- o jednoznačnosti Taylorova polynomu
- Taylorovy polynomy elementárních funkcí
- Taylorovy řady elementárních funkcí
- postačující podmínka pro maximum
Věty s obtížnějším důkazem
- kritérium existence Riemannova integrálu
- o Riemannově integrálu přes podintervaly
- linearita Riemannova integrálu
- o spojitosti a stejnoměrné spojitosti
- o integrálu s proměnnou horní mezí
- kritérium existence Riemannova integrálu přes buňku
- Fubiniova věta (důkaz pouze pro integrál přes součin buněk)
- vlastnosti jádra a obrazu lineárního zobrazení
- o Taylorově polynomu se zbytkem v Lagrangeově tvaru
- o Taylorově polynomu druhého řádu funkce více proměnných
- nutné podmínky druhého řádu pro lokální extrém
- postačující podmínky druhého řádu pro lokální extrém
- charakterizace konkávních funkcí třídy C2
Věty bez důkazu
- o rozkladu na parciální zlomky
- Riemannův integrál a nerovnosti
- linearita vícerozměrného Riemannova integrálu
- Riemannův integrál přes sjednocení množin
- postačující podmínka existence vícerozměrného Riemannova integrálu
- o existenci báze vektorového prostoru
- o spektrálním rozkladu matice
- vlastnosti normy