Požadavky ke zkoušce z předmětu Matematika II, LS 2007/2008
Klíčové pojmy z Matematiky I
- supremum a infimum množiny reálných čísel
- limita posloupnosti
- limita funkce v bodě
- spojitost funkce v bodě
- derivace funkce v bodě
Klíčové pojmy
- otevřená koule
- otevřená množina
- uzavřená množina
- konvergence posloupnosti v Rn
- funkce spojitá na množině
- kompaktní množina
- maximum/minimum funkce na množině
- lokální maximum/minimum funkce vzhledem k množině
- parciální derivace
- funkce třídy C1
- konvexní množina
- konkávní funkce
- matice typu m×n
- sčítání matic
- násobení matice reálným číslem
- součin matic
- regulární matice
- inverzní matice
- lineárně závislé vektory
- lineárně nezávislé vektory
- hodnost matice
- elementární řádkové úpravy
- determinant matice
- součet nekonečné řady
- konvergentní řada
- absolutně konvergentní řada
- primitivní funkce
Definice
- euklidovská metrika
- vnitřní bod množiny
- vnitřek množiny
- hraniční bod množiny
- hranice množiny
- uzávěr množiny
- omezená množina
- funkce spojitá v bodě vzhledem k množině
- funkce spojitá v bodě
- ostré maximum/minimum funkce na množině
- ostré lokální maximum/minimum funkce vzhledem k množině
- lokální maximum/minimum
- ostré lokální maximum/minimum
- limita funkce v bodě
- tečná nadrovina
- gradient funkce
- stacionární bod funkce
- parciální derivace druhého řádu
- funkce třídy Ck a C∞
- konvexní funkce
- ryze konkávní/konvexní funkce
- kvazikonkávní/kvazikonvexní funkce
- ryze kvazikonkávní/kvazikonvexní funkce
- jednotková matice
- transponovaná matice
- lineární kombinace
- schodovitá matice
- transformace matice
- horní/dolní trojúhelníková matice
- matice soustavy
- rozšířená matice soustavy
- lineární zobrazení
- kanonická báze prostoru Rn
- částečný součet řady
- divergentní řada
- přerovnání řady
- neabsolutně konvergentní řada
- racionální funkce
Věty s lehčím důkazem
- vlastnosti euklidovské metriky
- vlastnosti otevřených množin
- charakterizace konvergence posloupností v Rn
- charakterizace uzavřených množin
- vlastnosti uzavřených množin
- omezenost uzávěru
- spojitost a úrovňové množiny
- o omezenosti spojité funkce
- nutná podmínka lokálního extrému
- spojitost funkcí třídy C1
- o střední hodnotě
- o úrovňových množinách konkávní funkce
- o extrému konkávní funkce třídy C1
- o jednoznačnosti extrému
- o existenci a jednoznačnosti extrému
- o úrovňových množinách kvazikonkávní funkce
- vlastnosti transponovaných matic
- regularita a maticové operace
- součin a transformace
- determinant trojúhelníkové matice
- regularita a determinant
- o řešitelnosti soustavy lineárních rovnic
- reprezentace složení lineárních zobrazení
- nutná podmínka konvergence řady
- srovnávací kritérium pro řady
- limitní srovnávací kritérium pro řady
- o vztahu konvergence a absolutní konvergence
- o tvaru množiny ∫f(x)dx
- o substituci
- integrace per partes
- o rozkladu polynomu na kořenové činitele
Věty s obtížnějším důkazem
- Heineova věta
- charakterizace kompaktních množin v Rn
- o nabývání extrémů funkce
- slabá Lagrangeova věta
- o tečnosti tečné nadroviny
- derivace složené funkce
- o implicitní funkci
- o Lagrangeových multiplikátorech v R2
- charakterizace konkávních funkcí třídy C1
- vlastnosti maticového násobení
- vlastnosti transformace
- regularita a hodnost matice (včetně lemmatu o transformaci na jednotkovou matici)
- determinant a transformace
- o soustavách s regulární maticí
- Cramerovo pravidlo
- reprezentace lineárních zobrazení
- o lineárních bijekcích na Rn
- Cauchyovo odmocninové kritérium
- d'Alembertovo podílové kritérium
- konvergence řady ∑1/nα
- Leibnizovo kritérium
Věty bez důkazu
- spojitost a aritmetické operace
- spojitost a skládání funkcí
- o záměnnosti parciálních derivací
- o implicitních funkcích
- o Lagrangeových multiplikátorech s více vazbami
- o vztahu konkávnosti a spojitosti
- charakterizace ryze konkávních funkcí třídy C1
- charakterizace kvazikonkávních funkcí třídy C1
- postačující podmínka pro ryzí kvazikonkávnost funkce třídy C1
- determinant a transpozice
- determinant součinu
- o rozvoji determinantu
- o přerovnání absolutně konvergentních řad
- o existenci primitivní funkce
- o dělení polynomu