Požadavky ke zkoušce z předmětu Matematika 4, LS 2005/2006
Klíčové pojmy
Matematika 1
- limita posloupnosti
- limita funkce
- derivace funkce v bodě
Matematika 2
- otevřená množina
- uzavřená množina
- spojitost funkce
- kompaktní množina
- extrém funkce vzhledem k množině
- funkce třídy $C^1$
- konvexní množina
- součin matic
- regulární matice
- inverzní matice
- lineární nezávislost vektorů
- hodnost matice
- elementární řádkové úpravy
- determinant matice
- konvergentní řada
- primitivní funkce
Matematika 3
- Riemannův integrál
- vektorový prostor
- lineární kombinace
- báze vektorového prostoru
- lineární zobrazení
Matematika 4
- diferenciální rovnice
- řešení diferenciální rovnice
- maximální řešení diferenciální rovnice
- diferenciální rovnice se separovanými proměnnými
- autonomní diferenciální rovnice
- konvergentní Newtonův integrál
- lineární diferenciální rovnice prvního řádu
- homogenní lineární diferenciální rovnice prvního řádu
- partikulární řešení lineární diferenciální rovnice prvního řádu
- lineární diferenciální rovnice n-tého řádu
- homogenní lineární diferenciální rovnice n-tého řádu
- fundamentální systém lineární diferenciální rovnice n-tého řádu
- soustava diferenciálních rovnic
- soustava lineárních diferenciálních rovnic
Definice
- diferenciální rovnice
- řád diferenciální rovnice
- řešení diferenciální rovnice
- maximální řešení diferenciální rovnice
- rovnice se separovanými proměnnými
- singulární řešení rovnice se separovanými proměnnými
- autonomní diferenciální rovnice
- Newtonův integrál funkce
- konvergence Newtonova integrálu
- divergence Newtonova integrálu
- lineární diferenciální rovnice prvního řádu
- homogenní lineární diferenciální rovnice prvního řádu
- lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty
- homogenní lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty
- fundamentální systém pro lineární diferenciální rovnici n-tého řádu s konstantními koeficienty
- charakteristický polynom pro homogenní lineární diferenciální rovnici n-tého řádu s konstantními koeficienty
- vektorová funkce, vektorové zobrazení
- soustava diferenciálních rovnic
- (maximální) řešení soustavy diferenciálních rovnic
- počáteční úloha
- soustava lineárních diferenciálních rovnic
- fundamentální matice
- soustava lineárních diferenciálních rovnic s konstatními koeficienty
- homogenní soustava lineárních diferenciálních rovnic s konstatními koeficienty
- lambda-matice
- řádkové úpravy lambda-matice
Věty a metody řešení
Označení (bd) znamená bez důkazu, všechny ostatní věty jsou s důkazem.
- metoda řešení diferenciální rovnice se separovanými proměnnými
- monotonie řešení autonomní dif. rovnice 1. řádu
- vztah Newtonova a Riemannova integrálu (bd)
- srovnávací kritérium
- limitní srovnávací kritérium
- divergence $\int_a^b1/g$
- kvalitativní analýza řešení autonomních diferenciálních rovnic
- metoda řešení lineární diferenciální rovnice prvního řádu
- existence a jednoznačnost maximálního řešení pro lineární diferenciální rovnici n-tého řádu s konstantními koeficienty (bd)
- vlastnosti množiny řešení lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty
- tvar fundamentálního systému prostoru řešení homogenní lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty (bd)
- metoda variace konstant (včetně regularity fundamentální matice)
- metoda speciální pravé strany (bd)
- Peanova věta o existenci řešení soustavy diferenciálních rovnic (bd)
- existence a jednoznačnost řešení soustavy diferenciálních rovnic (bd)
- opouštění kompaktu
- Gronwallovo lemma
- rovnice s lineárním růstem
- spojitá závislost na počátečních podmínkách - správný důkaz viz soubor tvrzení z přednášek
- existence a jednoznačnost řešení soustavy lineárních diferenciálních rovnic
- vlastnosti množiny řešení soustavy lineárních diferenciálních rovnic
- regularita fundamentální matice
- variace konstant pro soustavu lineárních diferenciálních rovnic
- úprava lambda-matice (bd)
- metoda řešení homogenní soustavy lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty (včetně hladkosti řešení)