Měření kvantového systému

Jak víme, procesu měření odpovídají Hermitové operátory, jejichž vlastní hodnoty představují možné výsledky měření. To lze popsat operací $\textbf{\textit{A}}\vert\psi\rangle = a \vert\psi\rangle$, kde $a$ je reálná vlastní hodnota odpovídající výsledku měření a A je Hermitový operátor. Existují však pozorovatelné veličiny (a tím i operátory), jejichž vlastní stavy mají stejné vlastní hodnoty a nelze tudíž po měření určit, do kterého vlastního stavu systém přešel. Podle počtu stejných vlastních hodnot příslušejících několika vlastním stavům se vlastní hodnota nazývá $n$-krát degenerovaná. Pro nedegenerovanou vlastní hodnotu (jedinečnou pro daný vlastní stav) operátoru A je vlastní stav po měření dán naměřenou hodnotou této pozorovatelné veličiny. U degenerovaných vlastních hodnot ale nevíme, v jakém stavu se systém nalézá, tzn. že ze systému nezískáme žádnou další informaci, přestože jsme jej změřili. Tato nerozhodnost v možných stavech po měření se popisuje tzv. projekčními operátory.

Definice 13: P je projekční operátor, jestliže $\textbf{\textit{P}} = \textbf{\textit{P}}^\dagger$ a $\textbf{\textit{P}} = \textbf{\textit{P}}^2$.

Příklad 5: Příklady projekčních operátorů: $\textbf{\textit{P}} = \textbf{\textit{1}}$, $\textbf{\textit{P}} = \vert\psi\rangle \langle\psi\vert.$

Postulát 3: Po měření pozorovatelné veličiny (korespondující operátoru A) s výsledkem možné degenerované vlastní hodnoty přechází systém do stavu P$_i$$\vert\psi\rangle$, kde P$_i$ je projekční operátor podprostoru $L$ generovaný všemi vlastními vektory $\{\vert\psi_{ij}\rangle\}$ operátoru A, které odpovídají měřené vlastní hodnotě $a_i$, tj. P$_i$ = $\sum_j \vert\psi_{ij}\rangle \langle \psi_{ij}\vert$.

V případě degenerované vlastní hodnoty tak systém zůstává stále v superpozici více vlastních stavů, které odpovídají změřené vlastní hodnotě. Takovým měřením se vlastní stavy s jinou vlastní hodnotou vyloučily. Projekční měření má zásadní význam například u některých kvantových algoritmů, kdy potřebujeme měřením redukovat superpozici stavů v kvantovém registru na jejich určitou podmnožinu.