Základní matematický aparát

Definice 1: Nechť $V$ je množina objektů (vektorů), $\mathbb{C}$ je množina komplexních čísel, + je operace součtu a $\cdot$ je operace násobení. Pak se čtveřice $(V, \mathbb{C}, +, \cdot)$ nazývá komplexní vektorový prostor, jestliže pro zmíněné operace platí: mějme dány libovolné vektory $\vec{x}, \vec{y}, \vec{z} \in V$ a komplexní čísla $a, b, c \in \mathbb{C}$, pak:
$\begin{array}{ll} i) & \vec{x} + \vec{y} \in V \\ ii) & \vec{x} + (\vec{y} + ... ...\ x) & (b + c)\cdot \vec{x} = b\cdot \vec{x} + c\cdot \vec{x}. \\ \end{array}$
Poznámka: Vektory budeme v následujícím výkladu chápat jako $n$-rozměrné prvky $\mathbb{C}^n$.

Definice 2: Komplexní skalární součin na vektorovém prostoru přiřazuje libovolným dvěma vektorům $\vec{x}, \vec{y} \in V$ komplexní číslo, které zapisujeme $(\vec{x}, \vec{y})$, a které má pro libovolné $\vec{x}, \vec{y}, \vec{z} \in V$ a $a, b \in \mathbb{C}$ tyto vlastnosti:
$\begin{array}{ll} i) & (\vec{x}, a \vec{y} + b \vec{z}) = a (\vec{x}, \vec{y}... ...iv) & (\vec{x}, \vec{x}) = 0 \Leftrightarrow \vec{x} = \vec{0}. \\ \end{array}$

Prostory, v nichž je definován skalární součin se nazývají unitární. Pro případ vektorů z ${\mathbb{C}}^N$ navíc platí následující: mějme dva vektory $\vec{x}, \vec{y} \in {\mathbb{C}}^N$. Potom podmínky z definice skalárního součinu jsou splněny pro $(\vec{x}, \vec{y}) = \sum_{i = 1}^{N} x_i^* y_i$, kde $x_i, y_i$ jsou příslušné složky obou vektorů. Dále říkáme, že jsou dva vektory $\vec{x}, \vec{y} \in V$ vzájemně ortogonální, pokud je $(\vec{x}, \vec{y}) = 0$. Ortogonální bází potom nazýváme množinu lineárně nezávislých vektorů, jejíž jakékoliv dva různé vektory mají skalární součin roven nule. Příkladem může být množina dvou vektorů z $\mathbb{C}^2$, kde $\vec{x}_1 = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array}\right)$, $\vec{x}_2 = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ \end{array}\right)$.

Definice 3: Každý vektor $\vec{x} \in V$ má k sobě přiřazeno číslo $\vert\vert\ \vec{x}\ \vert\vert \in \mathbb{R}$, které představuje jeho normu (délku). Pro jakékoliv vektory $\vec{x}, \vec{y} \in V$ a číslo $a \in \mathbb{C}$ platí, že:
$\begin{array}{ll} i) & \vert\vert\ \vec{x}\ \vert\vert \geq 0 \\ ii) & \vert\... ...rt\vert\ \vec{x}\ \vert\vert + \vert\vert\ \vec{y}\ \vert\vert. \\ \end{array}$

Triviálně dále platí, že $\vert\vert\ \vec{x}\ \vert\vert = 0 \Leftrightarrow \vec{x} = \vec{0}$. Vektorový prostor, jenž má normu se nazývá normovaný vektorový prostor. Pokud je v komplexním vektorovém prostoru definován skalární součin, pak lze normu vyjádřit jako:

$$\vert\vert\ \vec{x}\ \vert\vert = \sqrt{(\vec{x}, \vec{x})}.$$

Jsou-li složky ortogonální báze jednotkové délky, tj. $\vert\vert\ \vec{x}_i\ \vert\vert^2 = (\vec{x}_i, \vec{x}_i) = 1$, pak se navíc tato báze nazývá ortonormální. Ortonormální báze je například $\vec{x}_1 = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array}\right)$, $\vec{x}_2 = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ \end{array}\right)$. Pomocí skalárního součinu můžeme rovněž rozkládat vektory do báze. Pro ortogonální bázi vektorů $\{\vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_n\}$ platí, že libovolný vektor $\vec{y} \in V$ lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů této báze:

$$\vec{y} = \sum_{i = 1}^n \lambda_i \vec{x}_i,$$

kde hledáme koeficienty $\lambda_i \in {\mathbb{C}}$. Pro tyto koeficienty z ortogonality a Definice 2, bodu i) plyne, že $(\vec{x}_i, \vec{y}) = \lambda_i (\vec{x}_i, \vec{x}_i)$. Ukažme si rozklad na následujícím příkladu:
Příklad 1: Pokusme se najít rozklad vektoru $\vec{y}$ do báze $\{\vec{x}_1, \vec{x}_2\}$, kde $\vec{y}$ =  $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2i \\ \end{array} \right)$ a $\vec{x}_1$ =  $\left( \begin{array}{c} 1 + 2i \\ 0 \\ \end{array} \right)$, $\vec{x}_2$ =  $\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 - 2i \\ \end{array} \right)$. Snadno nejprve ověříme, že báze je ortogonální, protože $(\vec{x}_1, \vec{x}_2) = 0$. Hodnota skalárních součinů $(\vec{x}_1, \vec{x}_1) = (\vec{x}_2, \vec{x}_2) = 5$. Z výrazu $(\vec{x}_i, \vec{y}) = \lambda_i (\vec{x}_i, \vec{x}_i)$ vypočítáme koeficienty $\lambda_1$ = $\frac{1 - 2i}{5}$, $\lambda_2$ = $\frac{2i - 4}{5}.$ Vidíme tak, že vektor $\vec{y}$ lze rozložit jako

$$\vec{y} = \frac{1 - 2i}{5} \left( \begin{array}{c} 1 + 2i \\ ... ...right) = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2i \\ \end{array} \right).$$

Poznámka: Užití ortonormální báze má výhodu v tom, že $\forall \vec{x}_i$ z báze platí $(\vec{x}_i, \vec{x}_i) = 1$, a tedy $\lambda_i = (\vec{x}_i, \vec{y})$.

Definice 4: Posloupnost vektorů $\{\vec{x}_i\}_{i = 0}^{\infty}$ normovaného vektorového prostoru se nazývá Cauchyho posloupnost pokud $\forall \varepsilon > 0, \exists n_0$ takové, že pro všechny $n,m > n_0$ je $\vert\vert\ \vec{x}_m - \vec{x}_n\ \vert\vert \leq \varepsilon$.

Definice 5: Vektorový prostor $V$ je úplný, pokud každá Cauchyho posloupnost vektorů $\vec{x} \in V$ konverguje k vektoru, který je prvkem $V$.

Příklad 2: Cauchyho posloupnost se skládá z čísel, jejichž rozdíly se s vyšším indexem čísel posloupnosti zmenšují. Například posloupnost $\{ 3, 3.1, 3.14, 3.141, \\ 3.1415, \ldots, \pi \}$ je Cauchyho posloupnost racionálních čísel. Vidíme, že prostor racionálních čísel není úplný, protože tato posloupnost konverguje zřejmě k $\pi$, jenž není racionální číslo.

Motivací pro zavedení úplnosti Hilbertova prostoru v kvantové informatice je požadavek na vývoj izolovaného kvantového stavu v rámci jednoho Hilbertova prostoru (to znamená, že chceme, aby vývoj stavu konvergoval také do jistého stavu).

Poznámka: Pojem konvergence (limity) vychází ze zavedení metriky prostoru (vzdálenosti mezi dvěma prvky) jako $d(\vec{x}_1, \vec{x}_2) = \vert\vert\ \vec{x}_2 - \vec{x}_1\ \vert\vert$.

Definice 6: Úplný unitární vektorový prostor se nazývá Hilbertův prostor ${\cal H}$.

V roce 1932 vyšla v němčině kniha matematika Johna von Neumanna, který v ní popis kvantových systémů zformalizoval.

Postulát 1: Stavy kvantového systému korespondují vektorům Hilbertova prostoru.

V kvantové mechanice se stav zapisuje v tzv. Diracově notaci, která pro zápis vektoru $\vec{x}$ používá ekvivalentu $\vert x\rangle$ a nazývá jej ket. Vektory Hilbertova prostoru (které stále chápeme jako aritmetické) zapisujeme buď v řádku nebo sloupci. Jestliže jsou sloupcové vektory prvky prostoru $V$, pak řádkové vektory představují prvky tzv. duálního prostoru $V^*$. Duální (konjugovaný) prostor je prostor lineárních funkcí na vektorovém prostoru $V$. Pokud je pro stavy $\vert x\rangle, \vert y\rangle$ definována funkce $f_{\vert y\rangle}: V \rightarrow {\mathbb{C}}$ jako $f_{\vert y\rangle} (\vert x\rangle) = (\vert x\rangle, \vert y\rangle)$, pak $f_{\vert y\rangle}$ je ekvivalentní řádkovému vektoru, který zapisujeme $\langle y\vert$ a nazýváme bra. Lze ukázat, že pro vektory z ${\mathbb{C}}^n$ představují vektory z $V^*$ komplexně sdruženou transpozici k vektorům z $V$. S jejich pomocí lze pro dva vektory $\vec{x}, \vec{y}$ odpovídající stavům $\vert x\rangle$ a $\vert y\rangle$ definovat skalární součin jako $(\vert x\rangle, \vert y\rangle)$, což se obvykle zkracuje na zápis $\langle x \vert y\rangle$ tvořící závorku (bracket). Shrňme si notaci do následující tabulky:

označení	název	operace	výsledek
$\langle x \vert y\rangle$	(vnitřní) skalární součin	řádka $\times$ sloupec	skalár
$\vert x\rangle \langle y\vert$	(vnější) tenzorový součin	sloupec $\times$ řádka	matice

Příklad 3: Obecný ket $\vert x\rangle$ = $\left( \begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_n \\ \end{array} \right)$ má příslušný vektor bra $\langle x\vert = \vert x \rangle^\dagger = \left( x_1^*,\ \ldots\ , x_n^* \right),$ kde symbol $\dagger$ označuje komplexně-sdruženou transpozici.

Příklad 4: Uvažujeme-li tří-složkové vektory $\vert x\rangle, \vert y\rangle$, pak skalární součin generuje skalár:

$$\langle x\vert y \rangle = \left(x_1^*, x_2^*, x_3^* \right) ... ...y_3 \\ \end{array} \right) = x_1^* y_1 + x_2^* y_2 + x_3^* y_3.$$

Tenzorový součin generuje v našem případě matici $3 \times 3$:

$$\vert x\rangle \langle y\vert = \left( \begin{array}{c} x_1 \... ...\\ x_3 y_1^* & x_3 y_2^* & x_3 y_3^* \\ \end{array} \right).$$

Definice 7: Podmnožina prostoru ${\cal H}$, která je sama prostorem (ve smyslu Definice 1) se nazývá podprostor prostoru ${\cal H}$.

Pro každý uzavřený podprostor $L$ v ${\cal H}$ existuje jeho komplementární podprostor $L^\perp$, který obsahuje prvky kolmé k prvkům $L$ (tj. $\langle x \vert y \rangle = 0$, pokud je $\vert x\rangle \in L, \vert y \rangle \in L^\perp$). Navíc každý vektor $\vert z\rangle \in {\cal H}$ lze vyjádřit ve tvaru $\vert z\rangle = \vert x \rangle + \vert y \rangle,$ kde $\vert x\rangle \in L, \vert y \rangle \in L^\perp$. Obecně je možné vyjádřit dekompozici prostoru ${\cal H}$ pomocí jeho $n$ ortogonálních podprostorů jako: ${\cal H} = L_1 \oplus \ldots \oplus L_n$, kde $\oplus$ představuje direktní součet.

Definice 8: Lineární operátor A: ${\cal H} \rightarrow {\cal H}$ přiřazuje každému vektoru $\vert x\rangle \in {\cal H}$ vektor A $\vert x\rangle \in {\cal H}$, kde $\forall \vert x\rangle, \vert y\rangle \in {\cal H}$ a $\forall a,b \in {\mathbb{C}}$ platí, že $\textbf{\textit{A}} (a \vert x\rangle + b \vert y\rangle) = a \textbf{\textit{A}}\vert x\rangle + b \textbf{\textit{A}}\vert y\rangle$.

Lineární operátory tedy umožňují transformovat vektory v jednom prostoru. Pokud operátor A působí na vektory duálního prostoru, potom takovou operaci zapisujeme $\langle x\vert$A. Elementy matice lineárního operátoru můžeme rovněž vyjádřit pomocí bázových vektorů jako A$_{ij}$ = $\langle x_i \vert \textbf{\textit{A}} \vert x_j \rangle$, kde $i,j$ jsou indexy řádků a sloupců a množina $\{ x_1, \ldots, x_i \}$ je báze indexovaná stejně jako řádky. Operátor, který zobrazuje vektory na sebe samy se nazývá jednotkový a značí se 1. Je definován pomocí bázových vektorů $\{\vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_n\}$ jako $\textbf{\textit{1}} = \sum_{i = 1}^{n} \vert x_i\rangle \langle x_i\vert$. Pro ortonormální bázi se zřejmě jedná o jednotkovou matici.

Definice 9: Operátor $\textbf{\textit{A}}^\dagger$ se nazývá sdružený (adjungovaný) k operátoru A, jestliže pro všechny $\vert x \rangle, \vert y \rangle \in {\cal H}$ platí, že $\langle y\vert\textbf{\textit{A}}^\dagger\vert x\rangle = \langle x\vert\textbf{\textit{A}}\vert y\rangle^*$.

Pro popis fyzikálních veličin (pozorovatelných veličin) používá kvantová mechanika zvláštní třídu tzv. Hermitových operátorů.

Definice 10: Operátor A se nazývá samosdružený (také Hermitový), jestliže pro všechny $\vert x \rangle, \vert y \rangle \in {\cal H}$ platí, že $\langle y\vert\textbf{\textit{A}}\vert x\rangle = \langle x\vert\textbf{\textit{A}}\vert y\rangle^*$, tj. $\textbf{\textit{A}} = \textbf{\textit{A}}^\dagger$.

Definice 11: Lineární operátor A má vlastní vektory $\vert\lambda\rangle$ a vlastní hodnoty $\lambda$, kde $(\textbf{\textit{A}} - \lambda \textbf{\textit{1}}) \vert\lambda\rangle = 0$, resp. $\textbf{\textit{A}} \vert\lambda\rangle = \lambda \vert\lambda\rangle$.

Pro výpočet vlastních hodnot si všimněme, že determinant det $(\textbf{\textit{A}} - \lambda \textbf{\textit{1}}) = 0$. V případě Hermitových operátorů, jsou všechny vlastní hodnoty reálné. Ty korespondují všem (také reálným) možným výsledkům měření určité veličiny. Odpovídající vlastní vektory jsou přitom navzájem ortogonální.

Postulát 2: Pozorovatelné fyzikální veličiny se popisují Hermitovými operátory, jejichž reálné vlastní hodnoty odpovídají možným výsledkům měření.

Vlastní vektory Hermitových operátorů operujících na prostoru ${\cal H}$ tvoří jeho bázi, tj. všechny vektory $\vert x\rangle \in {\cal H}$ lze vyjádřit jako $\vert x\rangle = \sum c_i \vert\lambda_i\rangle$, kde $\vert\lambda_i\rangle$ jsou vlastní vektory a $c_i \in {\mathbb{C}}$ jsou příslušné koeficienty.

Definice 12: Unitární lineární operátor U provádí zobrazení celého prostoru ${\cal H}$ na sama sebe a pro vektory $\vert x \rangle, \vert y \rangle \in {\cal H}$ platí, že $\langle x\vert\textbf{\textit{U}}^\dagger \textbf{\textit{U}}\vert y\rangle = \langle x\vert y\rangle$.

Poslední podmínka znamená, že aplikace unitárního operátoru nemění skalární součin obou vektorů a můžeme ji také zapsat jako $\textbf{\textit{U}}^\dagger \textbf{\textit{U}} = \textbf{\textit{U}} \textbf{\textit{U}}^\dagger = \textbf{\textit{1}}$.

Nyní máme nadefinovány základní pojmy, které budeme používat. K ostatním se dostaneme při výkladu konkrétních problémů. Protože jsme se zatím kromě důležitých sdělení v postulátech nedozvěděli, jak kvantová mechanika s tímto matematickým formalizmem souvisí, musíme si nyní o tomto vztahu povědět více. Začněme popisem kvantového stavu a problematickou otázkou měření kvantového systému.