Geometrie II — Γεωμετρία β´

Vypsané termíny (Karlín, 4. patro, seminární místnost KDM):

Literatura
1. Kuželosečky:
- Pech, P.: Kuželosečky. České Budějovice, 2004. — základní literatura ke kuželosečkám (konstrukce, vlastnosti)
- Quételetova–Dandelinova věta
- Klasifikace kuželoseček (stručný přehled)
- Janyška, J., Sekaninová, A.: Analytická teorie kuželoseček a kvadrik. Brno, 2013. — doplňující literatura ke kuželosečkám (metoda invariantů), z celého skripta je třeba jen několik stran
2. Zobrazení:
- Sekanina, M. a kol.: Geometrie II. SPN, Praha, 1988. — základní literatura k tomuto předmětu (pouze kapitoly 1 a 2, tj. po stranu 100)
příklady jsou dodávány na konzultacích

Doplňující literatura – pěkné a srozumitelné knihy pokrývající značnou část látky pro možnost podívat se i jinam:
- Kubát, V., Trkovská, D.: Analytická geometrie v afinních a eukleidovských prostorech. Matfyzpress, Praha, 2011.
- Lávička, M.: Geometrie 2. Plzeň, 2006.


Předpokládané vstupní znalosti:
matice přechodu, homomorfismy, lineární, bilineární a kvadratické formy, skalární součin, znalost analytické geometrie (včetně kuželoseček) v rozsahu SŠ
výborná znalost látky předmětu Geometrie I


Stručný syllabus
Kuželosečky, jejich různé definice, konstrukce a vlastnosti; tečny a asymptoty. Užití transformace souřadnic při studiu kuželoseček, klasifikace kuželoseček.
Dělicí poměr a jeho vlastnosti, souvislost s parametrem v parametrickém vyjádření přímky. Afinní zobrazení, jeho základní vlastnosti a analytické vyjádření. Asociovaný homomorfismus. Afinity, samodružné body a samodružné směry. Grupa afinit. Základní afinity. Modul afinity, ekviafinity. Grupa translací, skládání stejnolehlostí.
Shodné zobrazení, jeho základní vlastnosti a analytické vyjádření. Shodnosti, klasifikace shodností v rovině, souměrnosti v eukleidovském prostoru. Grupa shodností. Podobné zobrazení, jeho základní vlastnosti a analytické vyjádření. Podobnosti, klasifikace podobností v rovině. Rozklad podobnosti na stejnolehlost a shodnost. Grupa podobností. Kruhová inverze v rovině, základní vlastnosti, analytické vyjádření. Grupy geometrických transformací.


Co je třeba znát před studiem tohoto předmětu
- Lineární algebra I (homomorfismy, matice přechodu, matice rotace)
- Lineární algebra II (lineární, bilineární a kvadratické formy, vlastní čísla a vektory, Jordanův kanonický tvar, skalární součin, determinanty)
- Geometrie I (afinní a eukleidovský prostor, lineární kombinace bodů, lineární soustava souřadnic, obecné rovnice a parametrické vyjádření podprostorů, základní vlastnosti kuželoseček)


Požadavky ke zkoušce z Geometrie II
Kuželosečky (odkazy do skripta Pech a Sekanina I)
Kuželosečky jako množina bodů X v rovině; |XF| : |Xp| = k; rovnice ohnisková a vrcholová; rovnice kuželoseček v polárních souřadnicích. (Sekanina: Geometrie I, str. 168–173 a kap. 3.3).
Kuželosečky jako průnik roviny a kuželové plochy, Quételetova–Dandelinova věta. Elipsa jako průnik roviny a válcové plochy.
Způsoby zavedení kuželoseček v antice, Apollóniovy názvy: parabola, elipsa, hyperbola.
Elipsa (Pech, str. 7–15 a 17–23): definice a rovnice; bodová, zahradnická, proužková součtová a rozdílová konstrukce, elipsograf, trojúhelníková konstrukce; tečna, ohniskové vlastnosti.
Hyperbola (Pech, str. 26–38 a 40–41): definice a rovnice; bodová konstrukce; tečna, ohniskové vlastnosti, věty o tečnách a asymptotách.
Parabola (Pech, str. 44–52 a 40–41): definice a rovnice; bodová konstrukce, tečna, ohniskové vlastnosti.
Klasifikace kuželoseček, metoda invariantů: matice kvadratické formy, matice kuželosečky; translace a rotace; singulární a regulární kuželosečky, klasifikace. (Janyška, str. 88–99, příklady počínaje stranou 104: 19.1, 19:19, 19:29, 19.30, 19.31)
Převedení rovnice kuželosečky na kanonický tvar pomocí posunutí a otočení (Sekanina: Geometrie I, kapitola 3.2.; doporučen také Pech, str. 75–89, obsahuje totiž řešené příklady).

Odkazy dále směřují do Sekaninovy učebnice Geometrie II. D — definice, V — věta.

Afinní zobrazení (věty včetně důkazů)
Dělicí poměr, střed dvojice bodů (viz Sekanina, Geometrie I, str. 63–67): D1.7.1 + poznámky, V1.7.1, V1.7.2; D1.7.2, V1.7.5, V1.7.6.
Afinní zobrazení a jeho určenost: kap. 1.1.
Analytické vyjádření afinního zobrazení: V1.2.1, odvození rovnic (souřadnice píšeme raději do sloupců).
Grupa afinních zobrazení: kap. 1.3.
Samodružné body a směry af. zobrazení: kap. 1.4.
Posunutí, stejnolehlost: kap. 1.5.
Základní afinity, analytické vyjádření, klasifikace, charakteristika, involutornost; projekce: kap. 1.6.
Klasifikace afinit v rovině: kap. 1.7.
Modul afinity, ekviafinity: kap. 1.8.

Zobrazení v eukleidovském prostoru (věty včetně důkazů)
Shodná zobrazení: kap. 2.1.
Analytické vyjádření shodného zobrazení: kap. 2.2.
Grupa shodností: kap. 2.3.
Souměrnost podle nadroviny: kap. 2.4.
Souměrnosti v eukleidovském prostoru, involutorní shodnosti, osová souměrnost v E3: kap. 2.5.
Klasifikace shodností roviny a E3: kap. 2.6 a 2.7.
Podobná zobrazení, analytické vyjádření, grupa podobností; samodružné body a vlastní čísla podobností: kap. 2.8.
Přehled geometrických zobrazení: kap. 2.9.
doporučuji rozmýšlet si tabulky na str. 68, 72 obsahující klasfikace zobrazení v E2 a E3

Kruhová inverze (věty včetně důkazů; vše pouze ve 2D, sférická inverze se nevyžaduje)
Kruhová inverze: z kap. 2.10: D2.10.1, D2.10.2, V2.10.1, V2.10.2, V2.10.3 (tato jedna věta bez důkazu).
Grupa sférických transformací: kap. 2.11 — bez důkazů.
Transformace roviny v komplexní souřadnici: pouze základní myšlenky, V2.12.1 (bez důk.), D2.12.1.



Zápočet
Písemná forma – příklady na aplikaci probrané látky, skládá se ze dvou testů:
1. kuželosečky, metoda invariantů i klasické transformace; ověřuje se také znalost definic z oblasti kuželoseček
2. geometrická zobrazení; ověřuje se také znalost definic z oblasti zobrazení
obsah zápočtových písemek

Zkouška
Ústní forma:
- vysvětlení početních postupů ze zápočtové písemky
- definice a věty včetně odvození a důkazů (viz požadavky výše)