Geometrie II — Γεωμετρία β´

Základní materiály

Kuželosečky:
Základní text ke kuželosečkám - základní vlastnosti, maticová reprezentace a teorie invariantů zde v pdf: Geometrie II - kuželosečky (teoretická část) (výstup projektu P 2023)
Sbírka řešených příkladů ke cvičení (kuželosečky) zde v pdf: Geometrie II - kuželosečky (praktická část)


Geometrická zobrazení: (orientační odkazy do Sekaninovy učebnice Geometrie II: zde)
Afinní zobrazení:
Dělicí poměr a afinní zobrazení až po jeho analytické vyjádření
Grupa afinit, samodružné body a směry, homothetie
Proč grupy geometrických zobrazení? Kleinův erlangenský program (str. 69: Základní myšlenka klasifikace geometrií, str. 77 — 79: Erlangenský program)
Základní afinity — klasifikace
Základní afinity — závěry
Základní afinity — analytické vyjádření
Klasifikace afinit v rovině

Zobrazení v eukleidovském prostoru:
Izometrie 1
Izometrie 2
Podobná zobrazení

Kruhová inverze:
Kruhová inverze, geometrie v komplexní souřadnici


Literatura
1. Kuželosečky:
- Pech, P.: Kuželosečky. České Budějovice, 2004. — základní literatura ke kuželosečkám (konstrukce, vlastnosti)
- Quételetova–Dandelinova věta
- Klasifikace kuželoseček (stručný přehled)
- Janyška, J., Sekaninová, A.: Analytická teorie kuželoseček a kvadrik. Brno, 2013. — doplňující literatura ke kuželosečkám (metoda invariantů), z celého skripta je třeba jen několik stran
2. Zobrazení:
- Sekanina, M. a kol.: Geometrie II. SPN, Praha, 1988. — základní literatura k tomuto předmětu (pouze kapitoly 1 a 2, tj. po stranu 100)
příklady jsou dodávány na konzultacích

Doplňující literatura – pěkné a srozumitelné knihy pokrývající značnou část látky pro možnost podívat se i jinam:
- Kubát, V., Trkovská, D.: Analytická geometrie v afinních a eukleidovských prostorech. Matfyzpress, Praha, 2011.
- Lávička, M.: Geometrie 2. Plzeň, 2006.


Předpokládané vstupní znalosti:
matice přechodu, homomorfismy, lineární, bilineární a kvadratické formy, skalární součin, znalost analytické geometrie (včetně kuželoseček) v rozsahu SŠ
výborná znalost látky předmětu Geometrie I


Stručný syllabus
Kuželosečky, jejich různé definice, konstrukce a vlastnosti; tečny a asymptoty. Užití transformace souřadnic při studiu kuželoseček, klasifikace kuželoseček.
Dělicí poměr a jeho vlastnosti, souvislost s parametrem v parametrickém vyjádření přímky. Afinní zobrazení, jeho základní vlastnosti a analytické vyjádření. Asociovaný homomorfismus. Afinity, samodružné body a samodružné směry. Grupa afinit. Základní afinity. Modul afinity, ekviafinity. Grupa translací, skládání stejnolehlostí.
Shodné zobrazení, jeho základní vlastnosti a analytické vyjádření. Shodnosti, klasifikace shodností v rovině, souměrnosti v eukleidovském prostoru. Grupa shodností. Podobné zobrazení, jeho základní vlastnosti a analytické vyjádření. Podobnosti, klasifikace podobností v rovině. Rozklad podobnosti na stejnolehlost a shodnost. Grupa podobností. Kruhová inverze v rovině, základní vlastnosti, analytické vyjádření. Grupy geometrických transformací.


Co je třeba znát před studiem tohoto předmětu
- Lineární algebra I (homomorfismy, matice přechodu, matice rotace)
- Lineární algebra II (lineární, bilineární a kvadratické formy, vlastní čísla a vektory, Jordanův kanonický tvar, skalární součin, determinanty)
- Geometrie I (afinní a eukleidovský prostor, lineární kombinace bodů, lineární soustava souřadnic, obecné rovnice a parametrické vyjádření podprostorů, základní vlastnosti kuželoseček)




Zápočet
Písemná forma – příklady na aplikaci probrané látky, skládá se ze dvou testů:
1. kuželosečky, metoda invariantů i klasické transformace; ověřuje se také znalost definic z oblasti kuželoseček
2. geometrická zobrazení; ověřuje se také znalost definic z oblasti zobrazení
obsah zápočtových písemek

Zkouška
Ústní forma:
- vysvětlení početních postupů ze zápočtové písemky
- definice a věty včetně odvození a důkazů (viz požadavky výše)