Geometrie I — Γεωμετρία α´

Vypsané termíny (vždy v Karlíně, 4. patro, seminární místnost KDM, od 9:00):

Sekanina, M. a kol.: Geometrie I. SPN, Praha 1986. — základní literatura k tomuto předmětu

Doplňující literatura – pěkné a srozumitelné knihy pokrývající značnou část látky pro možnost podívat se i jinam:
- Kubát, V., Trkovská, D.: Analytická geometrie v afinních a eukleidovských prostorech. Matfyzpress, Praha, 2011.
- Lávička, M.: Geometrie 1. Plzeň, 2006. (pouze kapitoly 1, 2, 4)

Předpokládané vstupní znalosti:
matice přechodu, homomorfismy, lineární formy, skalární součin, znalost analytické geometrie (včetně kuželoseček) v rozsahu SŠ

Látka ke zkoušce z Geometrie I
Odkazy směřují do Sekaninovy učebnice. D - definice, V - věta.

I. Afinní prostor (věty včetně důkazů)
Axiomatické budování geometrie: axiomy, primitivní pojmy. Budování geometrie pomocí lineární algebry.
Afinní prostor: D1.1.1, Pozn. 2 a 3, příklady, V1.1.1.
Lineární soustava souřadnic: D1.2.1, D1.2.2., Pozn. 1, příklad.
Lineární kombinace bodů: D1.8.1, V1.8.1, V1.8.4, V1.8.4', D1.8.2, V1.8.5, V1.8.6, V1.8.7, V1.8.8.
Transformace lineární soustavy souřadnic: (ve vektorovém prostoru — matice přechodu, vztahy a jejich odvození), D1.12.1, vztahy a jejich odvození, V1.12.2, V1.12.3. Zachováváme konvenci z LA psaní do sloupců, ne do řádků.
Orientace: D1.13.1, D1.12(13).2, V1.13.1, V1.13.2, D1.13.3, D1.13.4.
Podprostory AP a jejich parametrické vyjádření: D1.3.1, D1.3.2, D1.3.3.
Vzájemná poloha podprostorů AP: V1.4.1, D1.4.1, V1.4.2, V1.4.2', příklady.
Spojení podprostorů AP: D1.4.2, konstrukce spojení (str. 35), speciální případy spojení, V1.4.3.
Příčka mimoběžek: D1.4.3; hledání příčky: s daným zaměřením, procházející daným bodem.
Spojení podprostorů AP: V1.4.4+Důsl.
Vyšetřování vzájemné polohy dvou podprostorů AP (str. 39).
Vyjádření podprostoru rovnicemi: lineární formy a jejich nulové množiny, odvození rovnice nadroviny, D1.5.1, V1.5.1;
rovnice nadroviny v dané lineární soustavě souřadnic: hledání rovnice nadroviny (zejména n=2 a n=3), V1.5.2;
rovnice podprostoru a její hledání, D1.5.2.

Dodatková témata k afinnímu prostoru (věty bez důkazů):
Uspořádání na přímce: relace uspořádání, úplné uspořádání; D1.9.1, V1.9.2, D1.9.2, D1.9.3, V1.9.6, D1.9.4, V1.9.8
Úhly: D1.10.1, D1.10.2, V1.10.1, D1.10.3, D1.10.4, D1.10.5
Konvexní množiny: D1.11.1, V1.11.1, V1.11.2+myšlenka důkazu, V1.11.3, V1.11.4, D1.11.2, D1.11.3, V1.11.6

II. Eukleidovský prostor (věty vesměs včetně důkazů)
Skalární součin - definice a základní vlastnosti.
Nerovnosti: Cauchyova-Schwarzova, trojúhelníková (V2.1.1, V2.1.3). Pýthagorova věta.
Ortogonální vektory, Gramův-Schmidtův ortogonalizační proces — V2.1.4, V2.1.5, D2.1.1, V2.1.6, D2.1.2.
Vnější součin: V2.2.1, D2.2.1, V2.2.2, V2.2.3.
Vektorový součin: V2.2.4, D2.2.2, V2.2.5, V2.2.6, V2.2.7, bez důk.: V2.2.8.
Eukleidovský prostor: D2.3.1, D2.3.2, V2.3.1, V2.3.2, D2.3.3, V2.3.3, střed dvojice bodů.
Rovnice nadroviny: V2.3.4(včetně odvození).
Vzájemná poloha podprostorů En:
Vzdálenost dvou podprostorů: D2.6.1, V2.6.1, V2.6.2, D2.6.2, V2.6.3(včetně odvození), V2.6.4. Osa mimoběžek.
Odchylka dvou podprostorů: D2.5.10, D2.5.11, V2.6.5, D2.6.3, V2.6.6, V2.6.7, V2.6.8, D2.6.4, D2.6.5.
Prostory E2 a E3: Kosinová a sinová věta (odvození). Hérónův vzorec (libovolné odvození).

Dodatková témata k eukleidovskému prostoru (bez důkazů):
Geometrický význam skalárního a vnějšího součinu, geometrický význam determinantu.
Axiomatika míry geometrických útvarů (obsah, objem), význam aditivity ve školské matematice. D2.4.1.
Charakteristické vlastnosti vzdálenosti, V2.3.1, metrika.
Aditivní míra úhlu — dva způsoby zavedení. (viz kap. 2.5)
Gramův determinant a jeho geometrické aplikace, zejména vzdálenost dvou podprostorů.

III. Množiny bodů definované pomocí vzdálenosti (včetně odvození)
Rovnice kružnice. Mocnost bodu ke kružnici.
Chordála dvou kružnic, chordální střed tří kružnic. Vzájemná poloha kružnice a přímky.
Apollóniova kružnice.
Kuželosečka, ohnisko, řídicí přímka, vrchol, vrcholová rovnice kuželosečky.
Kružnice, elipsa, parabola a hyperbola. Jejich definice a vlastnosti.
Kuželosečka jako řez kuželovou (příp. válcovou) plochou, Quételetova-Dandelinova věta I a II.

Dodatková témata ke kuželosečkám (vesměs přehledově):
Rovnice kuželoseček v polárních souřadnicích.
Koule, elipsoid, paraboloid, kužel (pouze základní rovnice).

Zkouška
Písemná část: příklady na aplikaci probrané látky; základní definice a věty.
Ústní část: definice a věty včetně odvození a důkazů (není-li zde uvedeno jinak);
Afinní prostor, eukleidovský prostor, Množiny definované pomocí vzdálenosti.
Bodování zkouškové písemky: 5 příkladů po 5 bodech
25 - 22 výborně
21 - 18 velmi dobře
17 - 14 dobře