Geometrie I — Γεωμετρία α´

Sekanina, M. a kol.: Geometrie I. SPN, Praha 1986. — základní literatura k tomuto předmětu
Boček L., Kočandrle M.: Analytická geometrie. Série Matematika pro gymnázia. Prometheus, Praha, 2008. (užitečné pro srovnání se školskou praxí)

Doplňující literatura – pěkné a srozumitelné knihy pokrývající značnou část látky pro možnost podívat se i jinam:
- Kubát, V., Trkovská, D.: Analytická geometrie v afinních a eukleidovských prostorech. Matfyzpress, Praha, 2011.
- Lávička, M.: Geometrie 1. Plzeň, 2006. (pouze kapitoly 1, 2, 4)

Předpokládané vstupní znalosti:
matice přechodu, homomorfismy, lineární formy, skalární součin, znalost analytické geometrie (včetně kuželoseček) v rozsahu SŠ

co nás může potkat ve zkouškovém testu: pdf
stručné výpočty: Hérónův vzorec

Látka ke zkoušce z Geometrie I (platné od 11. ledna 2018)
Odkazy směřují do Sekaninovy učebnice. D - definice, V - věta.

I. Afinní prostor (věty včetně důkazů)
Axiomatické budování geometrie: axiomy, primitivní pojmy. Budování geometrie pomocí lineární algebry.
Afinní prostor: D1.1.1, Pozn. 2 a 3, příklady, V1.1.1.
Lineární soustava souřadnic: D1.2.1, D1.2.2., Pozn. 1, příklad.
Lineární kombinace bodů: D1.8.1, V1.8.1, V1.8.2, lineární nezávislost (pečlivěji než v knize): D1.8.2, V1.8.5, V1.8.6, V1.8.7.
Transformace lineární soustavy souřadnic: (ve vektorovém prostoru — matice přechodu, vztahy a jejich odvození), D1.12.1, vztahy a jejich odvození, V1.12.2, V1.12.3. Zachováváme konvenci z LA psaní do sloupců, ne do řádků.
Orientace: D1.13.1, D1.12(13).2, V1.13.1, V1.13.2, D1.13.3, D1.13.4.
Podprostory AP a jejich parametrické vyjádření: D1.3.1, D1.3.2, D1.3.3.
Vzájemná poloha podprostorů AP (pečlivěji než v knize): V1.4.1, D1.4.1, V1.4.2, V1.4.2', příklady.
Spojení podprostorů AP: D1.4.2, konstrukce spojení (str. 35), speciální případy spojení, V1.4.3.
Příčka mimoběžek: D1.4.3; hledání příčky: s daným zaměřením, procházející daným bodem.
Spojení podprostorů AP: V1.4.4+Důsl.
Vyšetřování vzájemné polohy dvou podprostorů AP (str. 39).
Vyjádření podprostoru rovnicemi: lineární formy a jejich nulové množiny, odvození rovnice nadroviny, D1.5.1, V1.5.1;
rovnice nadroviny v dané lineární soustavě souřadnic: hledání rovnice nadroviny (zejména n=2 a n=3), V1.5.2;
rovnice podprostoru a její hledání, D1.5.2.

Dodatková témata k afinnímu prostoru (jen přehledově, věty bez důkazů):
1.9 Uspořádání na přímce: úsečka, polopřímka, D1.9.1, V1.9.2, D1.9.2, D1.9.3, V1.9.6, D1.9.4, V1.9.8
1.11 Konvexní množiny: D1.11.1, V1.11.1, V1.11.2, V1.11.3, V1.11.4, D1.11.2, D1.11.3, V1.11.6

II. Eukleidovský prostor (věty vesměs včetně důkazů)
Skalární součin - definice a základní vlastnosti. Motivace jeho zavedení, odvození jeho tvaru, geometrická interpretace.
Vnější součin: V2.2.1, D2.2.1, V2.2.2, V2.2.3. Geometrický význam determinantu.
Objem k-rozměrného rovnoběžnostěnu v n-rozměrném prostoru, Gramův determinant, výpočet, aplikace.
Vektorový součin: V2.2.4, D2.2.2, V2.2.5, V2.2.6, V2.2.7, bez důk.: V2.2.8.
Eukleidovský prostor: D2.3.1, D2.3.2, V2.3.1 (vlastnosti metriky), V2.3.2, D2.3.3, V2.3.3, střed dvojice bodů.
Rovnice nadroviny: V2.3.4(včetně odvození).
Vzájemná poloha podprostorů En (jednodušeji, než v knize):
obecná definice vzdálenosti dvou podprostorů, výpočet. Gramův determinant, „transferová věta“. Speciální případy:
- vzdálenost bodu od podprostoru: V2.6.1, V2.6.2,
- vzdálenost bodu od nadroviny V2.6.3, odvození početní i na základě geometrické interpretace skalárního součinu,
- vzdálenost dvou mimoběžek, osa mimoběžek.
Odchylka dvou podprostorů: V2.6.5, D2.6.3, V2.6.6, V2.6.7, V2.6.8, D2.6.4, D2.6.5. Obecné zavedení odchylky dvou podprostorů.
Prostory E2 a E3 - odvození: Thalétova věta, sinová věta, Hérónův vzorec.

Zkouška
Písemná část: příklady na aplikaci probrané látky; osnova.
Ústní část: definice a věty včetně odvození a důkazů (není-li zde uvedeno jinak). Ústní a písemnou část lze oddělit.