Algebra II (NUMP020, LS, Z+Zk, 6 kred.)

Tento předmět byl v LS 2015 vyučován naposledy. V roce 2015/16 si jej sice bude možno ještě naposledy zapsat a nechat se z něj vyzkoušet, ale přednášky a cvičení už nepoběží.
Doporučuji však plnění předmětu neodkládat (ono to většinou pak stejně nebývá lepší :-) ).
Od října 2016 poběží nový předmět Algebra (pro NMgr.), ten však bude obsahem (teorie grup, Galoisova teorie, ...) i rozsahem (2/1, 4 kr.) zcela odlišný.

Chce-li se někdo ještě nechat vyzkoušet z Algebry II, je nutno si zapsat předmět NMUM501 Algebra. Pak jsou 2 možnosti:
1. Chodit na předmět Algebra a složit z něho zkoušku, na základě nastavené ekvivalence je Algebra II pak při kontrole uznatelná.
2. Nechodit na předmět Algebra, v jeho rámci však složit zkoušku dle požadavků předmětu Algebra II. Výsledek bude zapsán k předmětu Algebra, ale na základě nastavené ekvivalence je Algebra II pak při kontrole uznatelná. Tato varianta platí pouze pro studenty studující NMgr. ještě dle staré akreditace.


Domácí cvičení – kompletní soubor příkladů

U zápočtové písemky je možno používat kalkulačku (samostatnou, ne v mobilu).

Termíny (seminární místnost KDM, 4. patro)
22.05.2015 Pátek 11:00
28.05.2015 Čtvrtek 9:00
05.06.2015 Pátek 9:00
11.06.2015 Čtvrtek 9:00
19.06.2015 Pátek 9:00
30.06.2015 Út 10:00
29.07.2015 St 10:00
2.09.2015 St 9:00
24.09.2015 Čt 16:30

30.5.2016 Pondělí 10:00
3.6.2016 Pátek 13:30
20.6.2016 Pondělí 12:30
11.7.2016 Pondělí 10:00
24.8.2016 Středa 09:30
6.9.2016 Úterý 12:30

Literatura
Blažek J. a kol.: Algebra a teoretická aritmetika I, II. SPN, Praha, 1983, 1984.
Ráb M.: Komplexní čísla v elementární matematice. 2. přeprac. vyd. MU, Brno, 1996.
Chinčin A. J.: Řetězové zlomky. Přírodovědecké nakladatelství, Praha, 1952.
Tignol J.-P.: Galois' Theory of Algebraic Equations. World Scientific Publishing, Singapore, 2001.
Fine B., Rosenberger G.: The Fundamental Theorem of Algebra. Springer-Verlag, New York, 1997.
Coutinho S. C.: The Mathematics of Ciphers. Number Theory and RSA Cryptography. A K Peters, 1999.
Bewersdorff J.: Galois Theory for Beginners. A Historical Perspective. AMS, 2006.

Sylabus
Číselné obory (N, Z, Q, R, C), prvočísla, dělitelnost, řetězové zlomky, aplikace komplexních čísel v geometrii.
Polynomy a jejich kořeny. Grupy.

Zápočet a zkouška
Zápočet (zapisuje se u zkoušky): je třeba úspěšně absolvovat zkouškovou písemku a dva výstupy na cvičení: 1. domácí cvičení, 2. „nepřipravený“ výstup
Zkouška se koná zpravidla v seminární místnosti KDM, 4. patro. Skládá se z písemné a ústní části:
- písemná část: příklady obdobné příkladům počítaným na přednášce a cvičení (včetně domácích cvičení),
- ústní část: definice pojmů a odvození vět probíraných na přednáškách a cvičeních.

Probíraná látka – Číselné obory
Přirozená čísla: von Neumannova čísla. Peanovy axiomy, vlastnosti následníkové funkce. Existence a jednoznačnost operace + kompatibilní s následníkovou funkcí, definice sčítání a jeho vlastnosti (A, K). Odečítání, trichotomie, úplné uspořádání na N. Existence a jednoznačnost násobení a jeho vlastnosti (A, K, Distr., existence e). Struktura (N,+, .). Věta o jednoznačnosti přirozených čísel. Ekvivalence principu dobrého uspořádání a principu matematické indukce. Důkazy matematickou indukcí, příklady. Fibonacciova čísla a jejich vlastnosti, Binetova formule a její zobecnění. Součty k-tých mocnin prvních n přirozených čísel. Počet rozkladů indukovaných relacemi ekvivalence na konečné množině, Bellova čísla.

Celá čísla: konstrukce oboru celých čísel pomocí relace ekvivalence na N2, sčítání v Z, komutativní grupa (Z,+). Z jako rozšíření N. Věta o izomorfním vnoření komutativní pologrupy s neutrálním prvkem a krácením do grupy.
Dělitelnost: základní definice (NSD, nsn), částečné uspořádání | na N. Svazy, definice a základní vlastnosti, Hasseovy diagramy. Eukleidovské dělení (NSD(a, b) = NSD(b, r)), Eukleidův algoritmus a jeho aplikace. Číselné soustavy, převody, římské číslice, řetězové zlomky. Ideál okruhu, důkaz Bézoutovy věty pomocí hlavních ideálů. Kongruence modulo n, Kritéria dělitelnosti (2, 5, 10, 4, 25, 100, 8, 125, 9, 3, 6, 7 (2 možnosti), 11, 13, 17, 27, 37, 19). Malá Fermatova věta a Bézoutova věta – důkazy a srovnání. Lineární diofantické rovnice, věta o existenci řešení, příklady.
Prvočísla: Matijasevičova parabola, Eratosthenovo síto. Eukleidova věta o počtu prvočísel (3 důkazy, užití Fermatových čísel). Fermatova čísla, jejich vyjádření pomocí součinu předchozích členů posloupnosti Fermatových čísel, Goldbachova věta o nesoudělnosti Fm a Fn; Eulerův rozklad F5, tvar dělitelů Fermatových čísel (Euler, vylepšený tvar: Lucas); Fermatova prvočísla a konstruovatelnost pravidelných n-úhelníků, interpretace řádků Pascalova trojúhelníku mod 2 ve dvojkové soustavě. Fermatův faktorizační algoritmus. Mersennova čísla, Lucasův-Lehmerův test a jeho modifikace. Dokonalá čísla, věta Eukleidova a Eulerova o sudých dokonalých číslech, lichá dokonalá čísla. Hustota rozložení prvočísel, funkce π(n), Erdősův a Čebyševův odhad (myšlenka důkazu). Caesarova šifra (posun), afinní kódy (šifrování vektoru pomocí afinní transformace). Kryptografický systém RSA (Rivest, Shamir, Adleman), algebraická podstata a algoritmus.

Racionální čísla: konstrukce oboru racionálních čísel: rozšíření kom. pologrupy s neutrálním prvkem a zákony krácení (Z \ {0}, ·) na grupu (Q \ {0}, ·) (analogie konstrukce Z), podílové těleso oboru integrity Z.
Řetězové zlomky: konečné a nekonečné, články, konvergenty a jejich výpočet, konvergence. Ryze periodické řetězové zlomky, redukované kvadratické iracionality, věta Galoisova a Lagrangeova. Řetězové zlomky odmocnin přirozených čísel, jejich tvar a formule pro efektivní generování. Aplikace řetězových zlomků: diofantické rovnice, Wienerův útok na RSA (pouze stručná poznámka); Pellova rovnice.

Reálná čísla: Dedekindovy řezy (D1.7, D1.8, Př1.9, V1.10, P1.11, V1.12, D1.14, V1.18, D1.21, V1.22, V1.30; důkazy se požadují), desetinné rozvoje (viz např. Kopáček), axiomatický popis R (důkazy vět z tohoto článku se nepožadují; uspořádané těleso, nezáporné prvky, podtěleso, D2.2 minimální uspořádané těleso = Q, (I) Archimédův axiom, V4.1 Q je archimédovsky uspořádané; příklad tělesa, které není archimédovsky uspořádané; (II) Cantorův axiom, axiom úplnosti, V5.1; D5.2 R = I+II; R jako množina všech cauchyovských posloupností; (III) Weierstrassův axiom = axiom suprema, V6.1, V6.3).
Iracionalita odmocnin (klasický důkaz sporem a důkaz pomocí polynomů), iracionalita e a π. Algebraická a transcendentní čísla, příklady, Gelfandova–Schneiderova věta; algebraický prvek stupně n a jeho minimální polynom. Výpočet π (Bailey–Borwein–Plouffe).

Komplexní čísla: Opakování ze SŠ: Zavedení komplexních čísel a jejich geometrické znázornění, Gaussova rovina, operace v C a jejich geometrické znázornění, Moivreova věta a její aplikace.
Exponenciála a logaritmus, obecná mocnina, goniometrické funkce v C a vztahy mezi nimi (pouze přehledově). Základní věta algebry (bez důkazu) a její důsledky; derivace polynomu a násobné kořeny.
Geometrické aplikace: rovnice přímky, kružnice a elipsy v komplexní souřadnici; obsah trojúhelníka, těžiště, ortocentrum, Eulerova přímka, Feuerbachova kružnice.