Seznam povinně volitelných předmětů programu OM

Analýza maticových výpočtů 1 (2/2, Z+Zk, 3ZS, 5 ECTS)
Analýza maticových výpočtů 2 (2/2, Z+Zk, 3LS, 5 ECTS)
Digitální zpracování obrazu (3/0, Zk, 3ZS, 5 ECTS)
Geometrické modelování (2/2, Z+Zk, 3ZS, 6 ECTS)
Geometrie 2 (2/2, Z+Zk, 2LS, 5 ECTS)
Komutativni algebra (3/1, Z+Zk, 3ZS, 6 ECTS)
Matematická statistika 1 (4/2, Z+Zk, 3ZS, 8 ECTS)
Matematická statistika 2 (2/2, Z+Zk, 3LS, 5 ECTS)
Náhodné procesy 1 (4/2, Z+Zk, 3LS, 8 ECTS)
Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic (2/2, Z+Zk, 3LS, 5 ECTS)
Obecná topologie 1 (2/2, Z+Zk, 3ZS, 5 ECTS)
Obyčejné diferenciální rovnice (2/2, Z+Zk, 3LS, 5 ECTS)
Počítačová algebra (3/1, Z+Zk, 3ZS, 6 ECTS)
Samoopravné kódy (3/1, Z+Zk, 3ZS, 6 ECTS)
Seminář z teorie reálných funkcí 1 (0/2, Z, 3ZS, 2 ECTS)
Seminář z teorie reálných funkcí 2 (0/2, Z, 3LS, 2 ECTS)
Seminář ze základních vlastností prostorů funkcí 1 (0/2, Z, 3ZS, 2 ECTS)
Seminář ze základních vlastností prostorů funkcí 2 (0/2, Z, 3LS, 2 ECTS)
Teoretická mechanika (3/2, Z+Zk, 3ZS, 7 ECTS)
Teorie čísel (2/2, Z+Zk, 2LS, 5 ECTS)
Teorie informace (3/1, Z+Zk, 2LS, 6 ECTS)
Teorie míry a integrálu 2 (2/0, Zk, 3ZS, 3 ECTS)
Teorie pravděpodobnosti 1 (4/2, Z+Zk, 3ZS, 8 ECTS)
Úvod do analýzy na varietách (2/2, Z+Zk, 3ZS, 5 ECTS)
Úvod do funkcionální analýzy (4/2, Z+Zk, 3ZS, 8 ECTS)
Úvod do kryptografie (2/2, Z+Zk, 2LS, 5 ECTS)
Úvod do matematické logiky (2/0, Zk, 3LS, 3 ECTS)
Úvod do matematického modelování (3/0, Zk, 3LS, 5 ECTS)
Úvod do metody konečných prvků (2/2, Z+Zk, 3LS, 5 ECTS)
Úvod do parciálních diferenciálních rovnic (2/2, Z+Zk, 3ZS, 5 ECTS)
Úvod do teorie grup (2/2, Z+Zk, 3ZS, 5 ECTS)
Úvod do teorie kategorií (3/1, Z+Zk, 3LS, 6 ECTS)
Úvod do teorie Lieových grup (2/2, Z+Zk, 3LS, 5 ECTS)
Úvod do teorie množin (3/1, Z+Zk, 3ZS, 6 ECTS)
Úvod do teorie reprezentací (2/2, Z+Zk, 3ZS, 5 ECTS)
Vybrané partie z funkcionální analýzy (2/2, Z+Zk, 3LS, 5 ECTS)
Základy kombinatoriky a teorie grafů (2/2, Z+Zk, 3LS, 5 ECTS)

Analýza maticových výpočtů 1

(2/2, Z+Zk, 3ZS, 5 ECTS)

Anotace

Opakování maticových rozkladů (1)

Řešení lineárních aproximačních problémů (2)

Krylovovy prostory, Arnoldiho a Lanczosova metoda pro výpočet báze (2)

Krylovovské metody pro řešení soustav lineárních algebraických rovnic (5)

Maticové funkce (2)

Speciální matice (1)

Literatura

Duintjer Tebbens, J., Hnětynková, I., Plešinger, M., Strakoš, Z., Tichý, P., Analýza metod pro maticové výpočty: Základní metody, Matfyzpress, Praha, 2012.
Fiedler, M., Speciální matice a jejich použití v numerické matematice, SNTL, Praha, l981.
Golub, G..H., Van Loan, C.F., Matrix Computations, J. Hopkins Univ. Press, Baltimore, Third edition 1996.
Higham, N. J., Functions of Matrices: Theory and Computation, SIAM, 2008.
Watkins, D.S., Fundamentals of Matrix Computations, J. Wiley & Sons, New York, Third edition 2010.

Odkaz na sylabus

sylabus ze dne 05.12.2017

Nahoru!

Analýza maticových výpočtů 2

(2/2, Z+Zk, 3LS, 5 ECTS)

Anotace

Základní pojmy teorie citlivosti a numerické stability (1)

Citlivost vlastních čísel matic pro obecné a normální matice, spojitost a diferencovatelnost, podmíněnost jednoduchého vlastního čísla, pseudospektrum (3)

Odhady zpětné chyby při výpočtu vlastních čísel a řešení soustav lineárních algebraických rovnic (3)

QR algoritmus pro řešení úplného problému vlastních čísel (3)

Inverzní mocninná metoda a simultánní iterace (2)

Přehled navazujících oblastí (1)

Literatura

Duintjer Tebbens, J., Hnětynková, I., Plešinger, M., Strakoš, Z., Tichý, P., Analýza metod pro maticové výpočty: Základní metody, Matfyzpress, Praha, 2012.
Drkošová, J., Strakoš, Z., Základy teorie citlivosti a numerické stability, Skripta FJFI ČVUT, Praha, 1995.
Watkins, D.S., Fundamentals of Matrix Computations, J. Wiley & Sons, New York, Second edition 2002, Third edition 2010.
Higham, N.J., Accuracy and stability of numerical algorithms (Second edition), SIAM, Philadelphia, 2002.
Saad, Y., Iterative methods for sparse linear systems (Second edition), SIAM, Philadelphia, 2003.
Greenbaum, A., Iterative methods for solving linear systems, SIAM, Philadelphia, 1997.
Golub, G.. H., Van Loan, C.F., Matrix Computations (Third edition), J. Hopkins Univ. Press, Baltimore, 1996.

Odkaz na sylabus

sylabus ze dne 05.12.2017

Nahoru!

Digitální zpracování obrazu

(3/0, Zk, 3ZS, 5 ECTS)

Anotace

Úvodní přednáška z digitálního zpracování obrazu a rozpoznávání. Hlavní pozornost je věnována digitalizaci obrazu, předzpracování (potlačení šumu, zvýšení kontrastu, odstranění rozmazání), detekci hran, geometrickým transformacím, příznakovému popisu objektů a metodám automatického rozpoznávání (klasifikace). Výklad teorie bude doprovázen ukázkami experimentů a praktických aplikací.

Literatura

Pratt W. K.: Digital Image Processing (2nd ed.), John Wiley, New York, 1991
Rosenfeld A., Kak A. C.: Digital Picture Processing, Academic Press, New York, 1982
Gonzales R. C., Woods R. E., Digital Image Processing (3rd ed.), Addison-Wesley, 1992
Duda R.O. et al., Pattern Classification, (2nd ed.), John Wiley, New York, 2001

Nahoru!

Geometrické modelování

(2/2, Z+Zk, 3ZS, 6 ECTS)

Anotace

Předmět je zaměřen na základní matematické principy reprezentace křivek a ploch v geometrických aplikacích. Témata: po částech lineární aproximace, odhad křivosti, kruhové splajny, geometrická a analytická interpolace, Bézierovy křivky, De Casteljau algoritmus, racionální křivky a plochy, B-spline křivky a plochy, tenzorové plochy, subdivision.

Literatura

J. Hoschek, D. Lasser: Fundamentals of Computer Aided Geometric Design ,A K Peters, 1993.
G. Farin, J. Hoschek, M. Kim: Handbook of Computer Aided Geometric Design, Elsevier, 2002.
I. Linkeová: Základy počítačového modelování křivek a ploch, Vydavatelství ČVUT v Praze, 2008.
I. Linkeová: NURBS křivky, Nakladatelství ČVUT, Praha, 2007.

Nahoru!

Geometrie 2

(2/2, Z+Zk, 2LS, 5 ECTS)

Anotace

Elementární úvod do vektorového počtu, věta o potenciálu, Greenova a Gaussova věta. Vnější algebra vektorového prostoru, vlastnosti vnějšího násobení, orientace.
Diferenciální formy na otevřených množinách, vnější diferenciál, formy v dimenzi 3.
Přenášení diferenciálních forem pomocí zobrazení, integrační obory.
Stokesova věta pro formy stupně k, Gaussova věta pro oblast s hladkou hranicí.
Regulární a zobecněné plochy, orientace, Stokesova věta pro zobecněné formy. Integrál 1. druhu z funkce přes zobecněnou plochu.
Plochy v R3, 1. fundamentální forma plochy, tečný a normálový prostor plochy.
2. fundamentální forma plochy, normálová, Gaussova a střední křivost.
Hlavní a asymptotické křivky, Gaussovo zobrazení, Christoffelovy symboly.
Geodetická křivost, geodetiky, rovnice pro geodetiky.
Riemannova metrika, modely hyperbolické geometrie.

Literatura

L. Krump, V. Souček, J. Těšínský: Úvod do analýzy na varietách, Karolinum, 2002.
J. Kopáček, Příklady z matematiky pro fyziky III, skriptum, Matfyzpress, 1988.
K. Janich: Vector analysis, Springer Verlag, 2000.
M. do Carmo: Differential geometry of curves and surfaces, Prentice Hall, NJ 1976.

Odkaz na sylabus

sylabus ze dne 04.01.2018

Nahoru!

Komutativni algebra

(3/1, Z+Zk, 3ZS, 6 ECTS)

Anotace

1. Úvod (8)
- Ideály a delitelnost, aritmetika ideálu, noetherovskost, hierarchie oboru
- Faktorokruhy, Vety o homomorfismu a izomorfismu, Cínská veta o zbytcích
- Gaussovo lemma, Gaussova veta a Hilbertova veta o bázi

2. Galoisova teorie (13)
- rozširování homomorfismu do rozkladových nadteles a Galoisova grupa
- konstrukce a jednoznacnost alg. uzáveru
- stupen separability a separabilní rozšírení
- jednoduchá rozšírení, veta o primitivním prvku
- normální a Galoisova rozšírení
- hlavní veta Galoisovy teorie
- (ne)rešitelnost polynomu v radikálech

3. Úvod do algebraické geometrie (8)
- Radikály
- Galoisova korespondence I,V, ireducibilita vs. prvoideály
- Hilbertova veta o nulách

4. Úvod do algebraické teorie císel (10)
- Rešení diofantických rovnic rozkladem v císelných telesech
- Okruhy celistvých prvku a jejich základní vlastnost
- Jednoznacný rozklad ideálu
- Popis prvoideálu

Literatura

A. Drápal, Komutativní okruhy (skriptum).
W. Fulton, Algebraic curves, online.
M. F. Atiah, I.G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison Wesley, 1969.
H. Matsumura, Commutative Ring Theory, W. A. Benjamin, 1970.
P. Samuel, O. Zariski, Commutative Algebra vol. I and II, Princeton, D. Van Nostrand Company, 1958, 1960.
R. Y. Sharp, Steps in Commutative Algebra (London Math. Society Student Text), Cambridge Univ. Press, 2nd ed., 2001.
L. Procházka a kol., Algebra. Academia, Praha 1990.

Nahoru!

Matematická statistika 1

(4/2, Z+Zk, 3ZS, 8 ECTS)

Anotace

Asymptotické chování náhodných veličin.
Náhodný výběr, transformovaný náhodný výběr.
Odhady parametrů: bodový a intervalový odhad, kvalita odhadu, momentová metoda, empirické odhady.
Základy testování hypotéz.
Jednovýběrové a párové problémy pro kvantitativní náhodné veličiny.
Dvouvýběrové problémy pro kvantitativní náhodné veličiny.
Jednovýběrové problémy pro kategorické náhodné veličiny.
Dvouvýběrové problémy pro kategorické náhodné veličiny.
Analýza rozptylu
Korelační analýza.

Literatura

Anděl J.: Matematická statistika, SNTL/ALFA, Praha 1978
Anděl J.: Statistické metody. Matfyzpress, Praha 2007
Anděl, J.: Základy matematické statistiky. Matfyzpress, Praha 2013

Nahoru!

Matematická statistika 2

(2/2, Z+Zk, 3LS, 5 ECTS)

Anotace

Teorie odhadu: regulární systémy hustot, nestrannost, postačující statistiky.
Stejnoměrně nejlepší nestranné odhady.
Maximálně věrohodné odhady, asymptotická normalita a konzistence.
Testování hypotéz, stejnoměrně nejsilnější testy.

Literatura

Jiří Anděl, Základy matematické statistiky. Matfyzpress, Praha, 2003.

Nahoru!

Náhodné procesy 1

(4/2, Z+Zk, 3LS, 8 ECTS)

Anotace

Náhodné procesy, stacionarota.
Markovovy řetězce, pravděpodobnosti přechodu.
Homogenní Markovovy řetězce, klasifikace stavů, stacionarita, oceňování stavů.
Řízené Markovovy řetězce, optimalita řízení.
Markvovy řetězce se spojitým časem, pravděpodobnosti přechodu.
Homogenní Markovovy řetězce se spojitým časem, intenzity přechodu, klasifikace stavů, Kolmogorovovy diferenciální rovnice, stacionární rozdělení.
Poissonův proces, intenzity přechodu, lineární proces růstu obecný proces množení a zániku.
Obslužné systémy (M/M/c), stacionární rozdělení fronty.

Literatura

Prášková, Z., Lachout, P.: Základy náhodných procesů I, matfyzpress, Praha 2012
Prášková, Z., Lachout, P.: Základy náhodných procesů. Karolinum, Praha 2005.

Nahoru!

Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic

(2/2, Z+Zk, 3LS, 5 ECTS)

Anotace

Úvod do metody konečných diferencí (2)

Numerické řešení transportní rovnice (4)

Numerické řešení smíšené úlohy pro rovnici vedení tepla v 1D (3)

Analýza obecného schématu pro rovnice 1. řádu v čase (1)

Numerické řešení eliptických rovnic (3)

Literatura

K. W. Morton, D. F. Mayers: Numerical solution of partial differential equations, 2nd ed., Cambridge University Press, Cambridge, 2005
J. C. Strikwerda: Finite difference schemes and partial differential equations, 2nd ed., SIAM, Philadelphia, 2004
R. J. LeVeque: Finite difference methods for ordinary and partial differential equations: steady-state and time-dependent problems, SIAM, Philadelphia, 2007
J. W. Thomas: Numerical partial differential equations: finite difference methods, Springer, New York, 1995
A. Quarteroni, A. Valli: Numerical approximation of partial differential equations, 2nd ed., Springer, 2008
M. Feistauer: Diskrétní metody řešení diferenciálních rovnic, skripta, SPN, Praha, l98l

Odkaz na sylabus

sylabus ze dne 05.12.2017

Nahoru!

Obecná topologie 1

(2/2, Z+Zk, 3ZS, 5 ECTS)

Anotace

1. Pojem topologického prostoru
2. Operace s topologickými prostory
3. Axiomy oddělitelnosti, úplně regulární prostory
4. Normální prostory - rozšiřování reálných funkcí
5. Kompaktní a Lindelofovy prostory
6. Prostory spojitých funkcí
7. Kompaktifikace
8. Čechovská úplnost a Baireova věta
9. Uniformní prostory a topologické grupy

Literatura

R. Engelking, General Topology, PWN Warszawa 1977
J. L. Kelley, General Topology, D. Van Nostrand, New York 1957
J. Dugundji, Topology, Boston 1966 (1978)
J. I. Nagata, Modern General Topology, North-Holland 1985 (1968, 1975)
E. Čech, Topological Spaces, Academia, Praha 1966

Odkaz na sylabus

sylabus ze dne 11.12.2017

Nahoru!

Obyčejné diferenciální rovnice

(2/2, Z+Zk, 3LS, 5 ECTS)

Anotace

Soustavy obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu - existence a jednoznačnost řešení, vlastnosti maximálních řešení. Soustavy lineárních rovnic - fundamentální matice, wronskián, variace konstant. Exponenciála matice. Stabilita a asymptotická stabilita. První integrál, metoda charakteristik. Rovnice vyššího řádu. Hlubší výsledky o stabilitě.

Odkaz na sylabus

sylabus ze dne 05.12.2017

Nahoru!

Počítačová algebra

(3/1, Z+Zk, 3ZS, 6 ECTS)

Anotace

Základní algoritmy pro operace s polynomy: aritmetické operace, čínská věta o zbytcích, největší společný dělitel.
Práce s matematickým software (Sage, Mathematica apod.).

1. Reprezentace dat, základní operace s čísly a polynomy, Karacubův a Eukleidův algoritmus.

2. Modulární reprezentace, algoritmická verze Čínské věty o zbytcích. Rychlá Fourierova transformace, její využití pro rychlé násobení polynomů.

3. Newtonova metoda a rychlé dělení polynomů.

4. Největší společný dělitel polynomů: Primitivní polynomy a Gaussovo lemma, posloupnosti polynomiálních zbytků, modulární algoritmus.

Literatura

D. Stanovský, L.Barto: Počítačová algebra, Matfyzpress, 2011.

G. von zur Gathen: Modern computer algebra, Cambridge Univ. Press 1999

Knuth: The art of computer programming, vol. 1, Fundamental algorithms, Addison-Wesley, 3rd edition 1997

Nahoru!

Samoopravné kódy

(3/1, Z+Zk, 3ZS, 6 ECTS)

Anotace

Konečná tělesa (1)
Asymptotické odhady (2)
Lineární kódy (5)
Cyklické kódy (5)
Konvoluční kódy (6)

Literatura

Cameron, van Lint: Designs, graphs, codes and their links, Cambridge Univ. Press 1991;
MacWilliams, Sloane: The theory of error-correcting codes, North-Holland 1977.

Nahoru!

Seminář z teorie reálných funkcí 1

(0/2, Z, 3ZS, 2 ECTS)

Anotace

Seminář pro 3. ročník programu OM, zaměření Matematická analýza. Na semináři budou studenti referovat většinou nedávné články, z nichž některé obsahují otevřené problémy.

Literatura



Nahoru!

Seminář z teorie reálných funkcí 2

(0/2, Z, 3LS, 2 ECTS)

Anotace

Seminář pro 3. ročník programu OM, zaměření Matematická analýza. Na semináři budou studenti referovat většinou nedávné články, z nichž některé obsahují otevřené problémy.

Literatura



Nahoru!

Seminář ze základních vlastností prostorů funkcí 1

(0/2, Z, 3ZS, 2 ECTS)

Anotace

Seminář pro bakalářský obor Obecná matematika zahrnující základní vlastnosti prostorů integrovatelných, diferencovatelných a hladkých funkcí a vlastnosti operátorů na těchto prostorech.

Literatura

L. Pick, A. Kufner, O. John and S. Fučík: Function Spaces, Volume 1, Walter De Gruyter GmbH, Berlin/Boston 2013.
Jan Vybíral: Matematické miniatury, http://people.fjfi.cvut.cz/vybirja2/MaNa.pdf

Nahoru!

Seminář ze základních vlastností prostorů funkcí 2

(0/2, Z, 3LS, 2 ECTS)

Anotace

Seminář pro bakalářský obor Obecná matematika zahrnující základní vlastnosti prostorů integrovatelných, diferencovatelných a hladkých funkcí a vlastnosti operátorů na těchto prostorech.

Literatura

L. Pick, A. Kufner, O. John and S. Fučík: Function Spaces, Volume 1, Walter De Gruyter GmbH, Berlin/Boston 2013.
Jan Vybíral: Matematické miniatury, http://people.fjfi.cvut.cz/vybirja2/MaNa.pdf

Nahoru!

Teoretická mechanika

(3/2, Z+Zk, 3ZS, 7 ECTS)

Anotace

Předehra, motivace, nástin obsahu a opakování,
Pohyb hmotných bodů podrobených vazbám,
Lagrangeovy rovnice II.druhu,
Pravidla, metody a triky Lagrangeova formalismu,
Pohyb planet a další aplikace,
Hamiltonův variační princip,
Hamiltonovy kanonické rovnice a Poissonovy závorky,
Kanonické transformace a Hamiltonova-Jacobiho teorie,
Mechanika tuhého tělesa,
Eulerovy rovnice a setrvačníky,
Teorie kontinua,
Základní veličiny a rovnice pro popis kontinua,
Nejzajímavější důsledky rovnic kontinua.

Literatura

M. Brdička, A. Hladík: Teoretická mechanika, Academia, Praha, 1987.
J. Horský, J. Novotný, M. Štefaník: Mechanika ve fyzice, Academia, Praha, 2001.
M. Brdička, L. Samek, B. Sopko: Mechanika kontinua, Academia, Praha, 2000.
H. Goldstein, C. Poole, J. Safko: Classical Mechanics, Addison Wesley, San Francisco, 2002.
L. D. Landau, E. M. Lifšic: Mechanika, Fizmatgiz, Moskva, 1958.
J. W. Leech: Klasická mechanika, SNTL, Praha, 1970.
K. R. Symon: Mechanics, Addison-Wesley, Reading, 1971.
J. Kvasnica a kol.: Mechanika, Academia, Praha, 1988.
Videozáznamy přednášek

Nahoru!

Teorie čísel

(2/2, Z+Zk, 2LS, 5 ECTS)

Anotace

Teorie císel a RSA, LS, 2/2 Z Zk

1. Cyklické grupy (12)
Charakterizace cyklických grup, jejich podgrupy a endomorfismy, Eulerova funkce, Eulerova veta, primitivní prvky, cínská zbytková veta, struktura Z_n*, Rabin-Milleruv test, RSA

2. Kvadratické zbytky (6)
Gaussovská celá císla, kvadratické zbytky a Legendruv symbol, charaktery, Gaussovy soucty, cyklotomické polynomy, kvadratická reciprocita, Jacobiho symbol

3. Počet prvočísel (3)
Čebyševovy odhady, Bertrandův postulát

4. Řetězové zlomky (5)
Dobré aproximace a řetězové zlomky

Literatura

A. Drápal: Teorie císel a RSA, skripta;
Ireland, Rosen: A Classical Introduction to Modern Number Theory;
Borevic, Šafarevic: Number Theory, Academic Press 1966;
Riesel: Prime numbers and computer methods for factorization, Birkhäuser 1985;
Cohen: A course in computational algebraic number theory, Springer-Verlag 1993.

Nahoru!

Teorie informace

(3/1, Z+Zk, 2LS, 6 ECTS)

Anotace

Entropie a její vlastnosti (2) - maximalizace entropie, podmíněná entropie, vzájemná informace, data processing theorem, Fanovo lemma

Kódování zdroje (4) - Huffmanovo kódování, typické posloupnosti, střední délka zprávy

Kapacita kanálu a Shannonovy věty (6) - obecný případ, binární symetrický kanál, gaussovský kanál

Skrytý Markovův model (3)

Viterbiho a Fanův dekódovací algoritmus (4)

Nahoru!

Teorie míry a integrálu 2

(2/0, Zk, 3ZS, 3 ECTS)

Anotace

Vnější míra a Caratheodoryho konstrukce, konstrukce Lebesgueovy míry, vztah Lebesgueova a Riemannova integrálu, Radon-Nikodymova věta, znaménkové míry, konvergence posloupnosti funkcí, součinové míry (příklad nekonečného součinu).

Literatura

Základní literatura:
W. Rudin, Analýza v reálném a komplexním oboru, Academia, 2003

Doporučená literatura:
J. Lukeš, J. Malý, Míra a integrál, Univerzita Karlova, Praha, 1993
I. Netuka: Integrální počet. MatfyzPress, Praha, 2016

Odkaz na sylabus

sylabus ze dne 11.05.2017

Nahoru!

Teorie pravděpodobnosti 1

(4/2, Z+Zk, 3ZS, 8 ECTS)

Anotace

Pravděpodobnostní prostor, náhodné veličiny, systémy náhodných veličin.
Rozdělení náhodných veličin, sdružené a marginální rozdělení.
Nezávislost náhodných veličin a systémů náhodných jevů.
Střední hodnota a její výpočet.
Konvergence náhodných veličin.
Podmíněná střední hodnota a podmíněné rozdělení.
0-1 zákony, sčitatelnost náhodných veličin, zákony velkých čísel.
Charakteristické funkce a inverzní vzorce.
Slabá konvergence, lokální a centrální limitní věty.

Literatura

Štěpán J.: Teorie pravděpodobnosti. Matematické základy. Academia, Praha, 1987
Lachout, P.: Teorie pravděpodobnosti. Karolinum, Praha, 2004.

Nahoru!

Úvod do analýzy na varietách

(2/2, Z+Zk, 3ZS, 5 ECTS)

Anotace

Topologický prostor, baze otevřených množin, spojité zobrazení, homeomorfismus.
Oddělovací axiómy, Hausdorffovy, regulární a normální prostory.
Kompaktní prostory, Tichonovova věta.
Multilineární zobrazení, tenzorová algebra vektorového prostoru, tensorový součin.
Kontravariantní a kovariantní tenzory. Symetrická algebra vektorového prostoru.
Grassmannova algebra vektorového prostoru. Zobrazení tenzorových algeber indukované lineárním zobrazením vektorových prostorů.
Hladká varieta, varieta s krajem, orientace variety, tečný a kotečný prostor variety. Hladká zobrazení mezi varietami, tečné a kotečné zobrazení, diferenciál funkce, vektorová pole a jejich integrální křivky, Lieova algebra vektorových polí.
Tenzorová pole na varietě, diferenciální formy, de Rhamův diferenciál, přenášení forem pomocí zobrazení. Rozklad jednotky, integrace forem přes orientované variety, obecná Stokesova věta. Integrace funkcí na Riemannově varietě, element objemu.
Algebra forem jako superalgebra, gradované derivace na algebře forem, kontrakce forem pomocí vektorových polí, Lieova derivace forem a její geometrická interpretace.
Cartanův vzorec a globální formulace de Rhamova diferenciálu.
De Rhamova kohomologie.
Distribuce na varietě, integrální podvariety distribucí, Frobeniova věta.

Literatura

Základní:
L. Krump, V. Souček, J. Těšínský: Úvod do analýzy na varietách, skriptum, Karolinum, 2002.
O. Kowalski: Základy matematické analýzy na varietách, skriptum. Karolinum, 1975.
J. Kopáček a kol.: Příklady z analýzy pro fyziky, III, Matfyzpress, 1996.

Doporučená:
J. A. Thorpe: Elementary topics in differential geometry, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1979.
L. Conlon: Differentiable manifolds, Birkhauser, 2001.
P. M. Gadea, J. M. Masque, I. V. Mykytyuk: Analysis and algebra on differentiable manifolds, A workbook for students and teachers, Springer, 2013.

Nahoru!

Úvod do funkcionální analýzy

(4/2, Z+Zk, 3ZS, 8 ECTS)

Anotace

Banachovy a Hilbertovy prostory, dualita a Hahn-Banachova věta, slabá konvergence posloupností, operátory na Banachových a Hilbertových prostorech, spektrální teorie kompaktních operátorů, Fourierova transformace

Literatura

M.Fabian et al. Banach Space Theory. The basis for Linear and Nonlinear Analysis. Springer 2011.
I. Netuka a J. Veselý, Příklady z funkcionální analýzy (skripta MFF UK 1972).
J. Lukeš a J. Malý, Míra a integrál (skripta, Univerzita Karlova, 1993, 2002 - anglické vydání 1995, 2005) .

Odkaz na sylabus

sylabus ze dne 05.12.2017

Nahoru!

Úvod do kryptografie

(2/2, Z+Zk, 2LS, 5 ECTS)

Anotace

Úvod (1) - klasické šifry a jejich prolamování, typy útoku.

Blokové šifry (4) - šifra DES, triple DES, meet-in-the-middle útok, šifra AES, klasické operacní režimy blokových šifer, padding.

Proudové šifry (2) - posuvné registry s lineární zpetnou vazbou, šifra A5/1.

Hashovací funkce (3) - aplikace hashovacích funkcí, narozeninový paradox, složitost hledání vzoru a kolize hrubou silou, Merkleovo-Damgĺrdovo schéma, autentizacní kód zprávy.

Asymetrická kryptografie (3) - RSA, Hĺstaduv útok na malý verejný exponent, digitální podpis, slepý podpis, Diffieho-Hellmanuv protokol, perfect forward secrecy, princip Pohligova-Hellmanova algoritmu, ElGamaluv šifrovací systém, ElGamalovo podpisové schéma a algoritmus DSA.

Literatura

Serge Vaudenay: A Classical Introduction to Cryptography, Springer, 2006.
Douglas R. Stinson: Cryptography: Theory and Practice, Third Edition, CRC Press, 2005.
Hans Delfs, Helmut Knebl: Introduction to Cryptography, Springer, 2015.
Christof Paar, Jan Pelzl: Understanding Cryptography: A Textbook for Students and Practitioners, Springer, 2010.
Alfred J. Menezes, Paul C. van Oorschot, Scott A. Vanstone: Handbook of Applied Cryptography, CRC Press, 1996.
Joan Daemen, Vincent Rijmen: The Design of Rijndael: AES - The Advanced Encryption Standard, Springer, 2002.

Nahoru!

Úvod do matematické logiky

(2/0, Zk, 3LS, 3 ECTS)

Anotace

Základy výrokové a predikátové logiky a nejzákladnější pojmy a fakta z teorie modelů a teorie množin, neúplnost a nerozhodnutelnost, Gödelovy věty.

Literatura

J.R.Shoenfield: Mathematical logic; Addison-Wesley Publishing Company, London . Don Mills, Ontario, 1967.
V.Švejdar, Logika: neúplnost, složitost a nutnost, Academia, Praha, 2002.
R.Cori, D.Lascar, Mathematical Logic (part I.), Oxford University Press, 2000.
H.D.Ebinghaus, J.Flum, W.Thomas, Mathematical Logic, 2.vyd., Springer Verlag, 1994.
literatura na webu (a další literatura): viz http://www.karlin.mff.cuni.cz/~krajicek/ml.html

Nahoru!

Úvod do matematického modelování

(3/0, Zk, 3LS, 5 ECTS)

Anotace

Základní fyzikální zákony a jejich formulace ve tvaru parciálních diferenciálních rovnic, odvození rovnic popisujících proudění tekutin (4)

Základní okrajové úlohy teorie pružnosti (2)

Modelování nevazkého proudění (2)

Modelování proudění v porézních prostředích (2)

Transportní procesy (2)

Rovnice popisující šíření akustických vln (1)

Literatura

Feistauer M.: Mathematical Methods in Fluid Dynamics, Longman Scientific-Technical, Harlow, l993
Nečas J.,Hlaváček I.: Úvod do mat. teorie pružných a pružně plastických těles, SNTL, Praha, l983

Odkaz na sylabus

sylabus ze dne 05.12.2017

Nahoru!

Úvod do metody konečných prvků

(2/2, Z+Zk, 3LS, 5 ECTS)

Anotace

Diskretizace ODR metodou konečných prvků (3)

Odhady chyby přibližného řešení (3)

Adaptace sítě (1)

Metoda konečných prvků ve více dimenzích (3)

Diskrétní princip maxima (1)

Superclose property, postprocessing (1)

Aproximace výpočetní oblasti (1)

Literatura

P.G. Ciarlet: Basic error estimates for elliptic problems. In: P.G. Ciarlet and J.L. Lions (eds.), Handbook of Numerical Analysis, vol. 2, North-Holland, Amsterdam, 1991, pp. 17-351

S.C. Brenner, L.R. Scott: The Mathematical Theory of Finite Element Methods, Springer, New York, 1994 (1st ed.), 2002 (2nd ed.), 2008 (3rd ed.)

Odkaz na sylabus

sylabus ze dne 08.12.2017

Nahoru!

Úvod do parciálních diferenciálních rovnic

(2/2, Z+Zk, 3ZS, 5 ECTS)

Anotace

Základní informace o PDR - motivace, typy PDR, typy úloh a jejich klasická řešení (2)
Cauchyova úloha pro kvazilineární PDR 1. řádu - existence a vlastnosti řešení(1)
Vlnová rovnice - klasické řešení, jeho vlastnosti (4)
Parabolické rovnice - klasické řešení a jeho vlastnosti, princip maxima (2)
Eliptické rovnice - klasické řešení a jeho vlastnosti, princip maxima (4)

Literatura

L. C. Evans: Partial Differential Equations, AMS 1999
M. Renardy, R. C. Rogers: An introduction to partial differential equations, Springer 1993

Odkaz na sylabus

sylabus ze dne 05.12.2017

Nahoru!

Úvod do teorie grup

(2/2, Z+Zk, 3ZS, 5 ECTS)

Anotace

Základy teorie grup: kompoziční řady, semidirektní součin, působení na množině, řešitelnost a nilpotence. Sylowovy věty. Volné grupy a jejich podgrupy. Prezentace. Určeno pro zaměření Matematické struktury na OM.

Literatura

Aleš Drápal: Teorie grup : základní aspekty, Karolinum, Praha, 2000.
Derek J.S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer, New York, 1982.
Joseph J. Rotman: An Introduction to the Theory of Groups, Springer, New York, 1995.
M. Hall: The Theory of Groups, Macmillan Company, New York, 1959.
I.Martin: Isaacs, Finite group theory, American Mathematical Society, Providence, 2008.
L. Procházka, L. Bican, T. Kepka, P. Němec: Algebra, Academia, Praha, 1990.

Nahoru!

Úvod do teorie kategorií

(3/1, Z+Zk, 3LS, 6 ECTS)

Anotace

Kategorie, funktory a přirozené transformace
Univerzální morfismy a univerzální objekty, Yonedovo lemma
Adjunkce
Limity a kolimity
Abelovské kategorie
Ekvivalence a dualita kategorií

Literatura

Lang, S., Algebra (Rev. 3rd ed.), Springer-Verlag, 2002.
Mac Lane, S., Categories for the Working Mathematician (2nd ed.), Springer-Verlag, 1998.
Anderson, F. W. and Fuller, K. R., Rings and Categories of Modules, Springer-Verlag, 1992.

Nahoru!

Úvod do teorie Lieových grup

(2/2, Z+Zk, 3LS, 5 ECTS)

Anotace

Lieovy grupy a Lieovy algebry, jejich homomorfismy a representace.
Korespondence mezi homomorfismy Lieových grup a homomorfismy jejich Lieových algeber. Lieova algebra Lieovy grupy, zobrazení exp z Lieovy algebry do Lieovy grupy.
Základní fakta o representacích Lieových grup a algeber. Klasifikace representací pro čtyři základní řady klasických (komplexních) jednoduchých algeber, konstrukce ireducibilních representací odpovídajících fundamentálním vahám, spinorové representace.
Dynkinovy diagramy kořenových systémů, klasifikace jednoduchých (komplexních) Lieových algeber pomocí Dynkinových diagramů.

Literatura

Základní:
W. Fulton., J. Harris: Representation Theory, A First Course, Springer, 2004.
A.W. Knapp: Lie Groups Beyond an Introduction, Birkhäuser Basel, 2002.

Doporučená studijní literatura a studijní pomůcky:
J. Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer, 1972.
B.C. Hall: Lie Groups, Lie Algebras and Representation, An Elementary Introduction, Springer, 2015.
W. Rossmann: Lie Groups, An Introduction Through Linear Groups, Oxford University Press, 2006.
R. Gilmore: Lie Groups, Physics and Geometry, Cambridge University Press, 2012.

Nahoru!

Úvod do teorie množin

(3/1, Z+Zk, 3ZS, 6 ECTS)

Anotace

Úvodní kurz z axiomatické Zermelovy-Fraenkelovy teorie množin. Základní pojmy včetně ordinálních, kardinálních čísel a jejich aritmetiky. Ekvivalenty axiomu výběru. Kombinatorické vlastnosti množin a související nástroje

Literatura

B. Balcar, P. Štěpánek : Teorie množin; Academia Praha, 1986.
T. Jech : Set theory; Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2003.

Nahoru!

Úvod do teorie reprezentací

(2/2, Z+Zk, 3ZS, 5 ECTS)

Anotace

Přednáška je úvodem do teorie lineárních reprezentací asociativních algeber, a obecněji modulů nad asociativními okruhy. Po úvodních motivujících příkladech lineárních reprezentací grup a grafů zavádí pojmy grupové algebry a algebry cest grafu. Pak se v obecné situaci věnuje jednoduchým a totálně rozložitelným reprezentacím, Weddeburn-Artinově a Maschkeho větě, a artinovským a noetherovským modulům. Pro moduly konečné délky je dokázána Jordan-Hoelderova a Krull-Schmidtova věta. Dalším tématem jsou strukturní věty pro volné a projektivní moduly (Kaplanského věty) a strukturní věty pro injektivní moduly (Matlis-Papp) a divisibilní abelovské grupy. Pro speciální případ algeber cest grafů je charakterizován Jacobsonův radikál a dokázána jejich dědičnost.

Literatura

Základní
Etingov, P. et al.: ,,Introduction to Representation Theory“, Student Math. Library, vol. 59, AMS, Providence 2010.
Passman, D.S.: ,,A course in Ring Theory“, AMS Chelsea Publ., vol. 348, AMS, Providence 2004.
Anderson, F.W, Fuller, K.R.: ,,Rings and Categories of Modules“, 2nd ed., GTM 13, Springer, New York 1992.

Doplňková:

Assem, I., Simson, D., Skowronski, A.: ,,Elements of the Representation Theory of Associative Algebras, vol. 1“, LMS Student Texts vol. 65, Cambridge Univ. Press, Cambridge 2006.
Lam, T.Y.: ,,Lectures on Modules and Rings“, GTM 189, Springer, New York 1999.

Nahoru!

Vybrané partie z funkcionální analýzy

(2/2, Z+Zk, 3LS, 5 ECTS)

Anotace

Vektorové prostory, algebraická Hahnova-Banachova věta.
Hilbertovy prostory.
Normované lineární prostory a Banachovy prostory.
Omezené lineární operátory, inverzní operátor, spektrum operátoru.
Banachovy prostory a jejich duály.
Lokálně konvexní prostory, oddělování konvexních množin.
Slabá topologie.

Literatura

W. Rudin: Analýza v reálném a komplexním oboru, Academia, Praha, 2003
J. Lukeš: Úvod do funkcionální analýzy, skripta MFF
J. Lukeš: Zápisky z funkcionální analýzy, skripta MFF

Nahoru!

Základy kombinatoriky a teorie grafů

(2/2, Z+Zk, 3LS, 5 ECTS)

Anotace

Informativní přehled o základech teoretické. informatiky (výpočetní složitost, NP-úplnost) a algoritmech (lineární
programování, grafové algoritmy). Prezentace teoretických partií kombinatoriky a teorie grafů (toky v sítích, faktory grafů,
množinové systémy a systémy reprezentantů, Ramseyova teorie).

Literatura

L. Kučera: Kombinatorické algoritmy, Státní nakladatelství technické literatury, Praha 1989.
J. Matoušek, J. Nešetřil: Kapitoly z diskrétní matematiky, Karolinum, Praha 2009.
J. Nešetřil: Teorie grafů, Státní nakladatelství technické literatury, 1979.

Nahoru!