Seznam povinně volitelných předmětů programu OM, zaměření Matematická analýza

Geometrie 2 (2/2, Z+Zk, 2LS, 5 ECTS)
Obyčejné diferenciální rovnice (2/2, Z+Zk, 3LS, 5 ECTS)
Teorie míry a integrálu 2 (2/0, Zk, 3ZS, 3 ECTS)
Úvod do funkcionální analýzy (4/2, Z+Zk, 3ZS, 8 ECTS)
Úvod do parciálních diferenciálních rovnic (2/2, Z+Zk, 3ZS, 5 ECTS)

Geometrie 2

(2/2, Z+Zk, 2LS, 5 ECTS)

Anotace

Elementární úvod do vektorového počtu, věta o potenciálu, Greenova a Gaussova věta. Vnější algebra vektorového prostoru, vlastnosti vnějšího násobení, orientace.
Diferenciální formy na otevřených množinách, vnější diferenciál, formy v dimenzi 3.
Přenášení diferenciálních forem pomocí zobrazení, integrační obory.
Stokesova věta pro formy stupně k, Gaussova věta pro oblast s hladkou hranicí.
Regulární a zobecněné plochy, orientace, Stokesova věta pro zobecněné formy. Integrál 1. druhu z funkce přes zobecněnou plochu.
Plochy v R3, 1. fundamentální forma plochy, tečný a normálový prostor plochy.
2. fundamentální forma plochy, normálová, Gaussova a střední křivost.
Hlavní a asymptotické křivky, Gaussovo zobrazení, Christoffelovy symboly.
Geodetická křivost, geodetiky, rovnice pro geodetiky.
Riemannova metrika, modely hyperbolické geometrie.

Literatura

L. Krump, V. Souček, J. Těšínský: Úvod do analýzy na varietách, Karolinum, 2002.
J. Kopáček, Příklady z matematiky pro fyziky III, skriptum, Matfyzpress, 1988.
K. Janich: Vector analysis, Springer Verlag, 2000.
M. do Carmo: Differential geometry of curves and surfaces, Prentice Hall, NJ 1976.

Odkaz na sylabus

sylabus ze dne 04.01.2018

Nahoru!

Obyčejné diferenciální rovnice

(2/2, Z+Zk, 3LS, 5 ECTS)

Anotace

Soustavy obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu - existence a jednoznačnost řešení, vlastnosti maximálních řešení. Soustavy lineárních rovnic - fundamentální matice, wronskián, variace konstant. Exponenciála matice. Stabilita a asymptotická stabilita. První integrál, metoda charakteristik. Rovnice vyššího řádu. Hlubší výsledky o stabilitě.

Odkaz na sylabus

sylabus ze dne 05.12.2017

Nahoru!

Teorie míry a integrálu 2

(2/0, Zk, 3ZS, 3 ECTS)

Anotace

Vnější míra a Caratheodoryho konstrukce, konstrukce Lebesgueovy míry, vztah Lebesgueova a Riemannova integrálu, Radon-Nikodymova věta, znaménkové míry, konvergence posloupnosti funkcí, součinové míry (příklad nekonečného součinu).

Literatura

Základní literatura:
W. Rudin, Analýza v reálném a komplexním oboru, Academia, 2003

Doporučená literatura:
J. Lukeš, J. Malý, Míra a integrál, Univerzita Karlova, Praha, 1993
I. Netuka: Integrální počet. MatfyzPress, Praha, 2016

Odkaz na sylabus

sylabus ze dne 11.05.2017

Nahoru!

Úvod do funkcionální analýzy

(4/2, Z+Zk, 3ZS, 8 ECTS)

Anotace

Banachovy a Hilbertovy prostory, dualita a Hahn-Banachova věta, slabá konvergence posloupností, operátory na Banachových a Hilbertových prostorech, spektrální teorie kompaktních operátorů, Fourierova transformace

Literatura

M.Fabian et al. Banach Space Theory. The basis for Linear and Nonlinear Analysis. Springer 2011.
I. Netuka a J. Veselý, Příklady z funkcionální analýzy (skripta MFF UK 1972).
J. Lukeš a J. Malý, Míra a integrál (skripta, Univerzita Karlova, 1993, 2002 - anglické vydání 1995, 2005) .

Odkaz na sylabus

sylabus ze dne 05.12.2017

Nahoru!

Úvod do parciálních diferenciálních rovnic

(2/2, Z+Zk, 3ZS, 5 ECTS)

Anotace

Základní informace o PDR - motivace, typy PDR, typy úloh a jejich klasická řešení (2)
Cauchyova úloha pro kvazilineární PDR 1. řádu - existence a vlastnosti řešení(1)
Vlnová rovnice - klasické řešení, jeho vlastnosti (4)
Parabolické rovnice - klasické řešení a jeho vlastnosti, princip maxima (2)
Eliptické rovnice - klasické řešení a jeho vlastnosti, princip maxima (4)

Literatura

L. C. Evans: Partial Differential Equations, AMS 1999
M. Renardy, R. C. Rogers: An introduction to partial differential equations, Springer 1993

Odkaz na sylabus

sylabus ze dne 05.12.2017

Nahoru!