\documentclass[a4paper]{amsart}

\frenchspacing % aktivuje pou?it? n?kter?ch ?esk?ch typografick?ch pravidel

\usepackage{a4wide}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[cp1250]{inputenc}
%\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage{amsthm,amsmath,amssymb,color}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{example}{P\v{r}\'iklad}

\def\er{\mathbb R}
\def\en{\mathbb N}
\def \arctg {\operatorname{arctg}}
\def \cotg {\operatorname{cotg}}
\def \dx {\, \mathrm{d} x}
\newcommand\dl[1]{\, \mathrm{d} \lambda^{#1}}

\title{Kalkulus 3, 2018--2019\\ zkou\v{s}kov\'e p\'isemky}  % tyto dv? polo?ky jsou zde v podstat? form?ln?, ve skute?nosti nejsou nikde 
\author{Marek C\'uth}

\begin{document}
 \noindent\begin{center}\textbf{Kalkulus 3, ZS 2018-2019\\Zad\'an\'i p\'isemn\'e \v{c}\'asti zkou\v{s}ky - Varianta A}\end{center}
 
 \bigskip
 
\begin{example}Nech\v{t} je d\'ana posloupnost funkc\'i $(f_n)_{n=1}^\infty$ p\v{r}edpisem
	\[f_n(x) = \frac{(nx+2)^2}{n^2x^2+4},\quad x\in\er,n\in\en.\]
	\begin{itemize}
		\item Nalezn\v{e}te funkci $f$ takovou, \v{z}e $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ konverguje bodov\v{e} na $\er$ k funkci $f$.
		\item Vy\v{s}et\v{r}ete, zda posloupnost $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ konverguje stejnom\v{e}rn\v{e} na $[0,2]$ k funkci $f$.
		\item Vy\v{s}et\v{r}ete, zda posloupnost $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ konverguje stejnom\v{e}rn\v{e} na $[2,\infty)$ k funkci $f$.
		\end{itemize}
		$\textup{(10 bod\r{u})}$
\end{example}

\begin{example}Nech\v{t} je d\'ana mno\v{z}ina
\[M:=\{(x,y,z)\in\er^3\colon z\sqrt{x^2+y^2}<2, \sqrt{x^2+y^2} < z+1, z > 0\}.\]
\begin{itemize}
		\item Pro\v{c} je mno\v{z}ina $M$ m\v{e}\v{r}iteln\'a?
		\item Spo\v{c}t\v{e}te m\'iru $\lambda^3(M)$ (hint: pou\v{z}ijte v\'alcov\'e sou\v{r}adnice).
		\end{itemize}
		$\textup{(10 bod\r{u})}$
\end{example}

\begin{example}Uva\v{z}ujme funkci $F$ zadanou p\v{r}edpisem
	\[F(a):=\int_1^\infty \frac{\cos(\tfrac{x}{a})}{\sqrt{x^7}} \dx,\qquad a\in\er\setminus\{0\}.\]
    \begin{itemize}
    	\item Doka\v{z}te, \v{z}e $F(a)\in\er$ pro $a\in\er\setminus\{0\}$.
        \item Doka\v{z}te, \v{z}e funkce $F$ je spojit\'a na sv\'em defini\v{c}n\'im oboru.
        \item Vyj\'ad\v{r}ete $F'(a)$ pro $a\in\er\setminus\{0\}$.
		%\item Vyj\'ad\v{r}ete $F''(a)$ pro $a\in (0,\infty)$.
        \item Spo\v{c}t\v{e}te $\lim_{a\to +\infty} F(a)$.
    \end{itemize}
    $\textup{(10 bod\r{u})}$
\end{example}

\begin{example}Pro $4$-periodickou funkci $f$, kter\'a je na intervalu $[-2,2)$ definov\'ana p\v{r}edpisem
\[f(x)=\begin{cases}-2x, & x\in[-2,0),\\
x, & x\in [0,2)\end{cases}\]
nalezn\v{e}te Fourierovu \v{r}adu. Pro ka\v{z}d\'e $x\in[-2,2)$ nalezn\v{e}te sou\v{c}et t\'eto Fourierovy \v{r}ady.\\[10pt]
$\textup{(10 bod\r{u})}$
\end{example}
\newpage
%%%%Varianta B%%%%%%
\noindent\begin{center}\textbf{Kalkulus 3, ZS 2018-2019\\Zad\'an\'i p\'isemn\'e \v{c}\'asti zkou\v{s}ky - Varianta B}\end{center}
 
 \bigskip
 
\begin{example}	Nech\v{t} je funkce $f$ d\'ana p\v{r}edpisem
\[f(x):=\sum_{n=1}^\infty (-x^2+6x-8)^n.\]
\begin{itemize}
	\item Nalezn\v{e}te defini\v{c}n\'i obor funkce $f$ (tj. ur\v{c}ete pro kter\'a $x\in \er$ je $f(x)\in\er$).
	\item Doka\v{z}te, \v{z}e funkce $f$ je spojit\'a v bod\v{e} $7/2$.
	\item Doka\v{z}te, \v{z}e funkce $f$ m\'a vlastn\'i derivaci v bod\v{e} $7/2$ a vyj\'ad\v{r}ete $f'(7/2)$ jako sou\v{c}et \v{c}\'iseln\'e \v{r}ady.
\end{itemize}
$\textup{(10 bod\r{u})}$
\end{example}

\begin{example}Nech\v{t}je d\'ana mno\v{z}ina
\[M:=\{(x,y,z)\in\er^3\colon x^2+y^2+z^2\leq 2z, x^2+y^2\leq \tfrac{z^2}{3}\}.\]
\begin{itemize}
		\item Pro\v{c} je mno\v{z}ina $M$ m\v{e}\v{r}iteln\'a?
		\item Pro\v{c} je funkce $f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2$, $(x,y,z)\in M$ m\v{e}\v{r}iteln\'a?
		\item Spo\v{c}t\v{e}te integr\'al $\int_{M} f(x,y,z) \dl{3}$ (hint: pou\v{z}ijte sf\'erick\'e sou\v{r}adnice).
		\end{itemize}
		$\textup{(10 bod\r{u})}$
\end{example}

\begin{example}Uva\v{z}ujme funkci $F$ zadanou p\v{r}edpisem
	\[F(a):=\int_0^\infty e^{-8x}\frac{1 - \cos ax}{x} \dx,\qquad a\in\er.\]
	\begin{itemize}
    	\item Doka\v{z}te, \v{z}e $F(a)\in\er$ pro $a\in\er$.        
        \item Vyj\'ad\v{r}ete $F'(a)$ pro $a\in \er$ pomoc\'i integr\'alu a p\v{r}\'islu\v{s}n\'y integr\'al spo\v{c}t\v{e}te. Dostanete tak hodnotu $F'(a)$ pro $a\in\er$.
        \item Nalezn\v{e}te primitivn\'i funkci k $F'(a)$ a ur\v{c}ete hodnotu integr\'alu $F(a)$ pro $a\in\er$.
    \end{itemize}
    $\textup{(10 bod\r{u})}$
\end{example}

\begin{example}Pro $2\pi$-periodickou funkci $f$, kter\'a je na intervalu $[-\pi,\pi)$ definov\'ana p\v{r}edpisem
\[f(x)=\begin{cases}\sin 2x, & x\in(-\pi/2,\pi/2),\\
0, & x\in [-\pi,-\pi/2]\cup [\pi/2,\pi]\end{cases}\]
nalezn\v{e}te Fourierovu \v{r}adu (hint: m\r{u}\v{z}ete pou\v{z}\'it vzorce $\sin x\sin y = \tfrac{1}{2}\cos(x-y)-\tfrac{1}{2}\cos(x+y)$ a $\sin(\pi + x) = -\sin(x)$).\\
Pomoc\'i Parsevalovy rovnosti pak odvo\v{d}te sou\v{c}et \v{r}ady $\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{4}{\pi((2n-1)^2-4)}\right)^2$.\\[10pt]
$\textup{(10 bod\r{u})}$
\end{example}

\newpage
%%%%Varianta C%%%%%%
\noindent\begin{center}\textbf{Kalkulus 3, ZS 2018-2019\\Zad\'an\'i p\'isemn\'e \v{c}\'asti zkou\v{s}ky - Varianta C}\end{center}
 
 \bigskip
 
\begin{example}Nech\v{t} je d\'ana posloupnost funkc\'i $(f_n)_{n=1}^\infty$ p\v{r}edpisem
	\[f_n(x) = \frac{1}{n^2}\cdot\frac{|x+\tfrac{1}{n^2}| - |x-\tfrac{1}{n^2}|}{|x+\tfrac{1}{n^2}| + |x-\tfrac{1}{n^2}|},\quad x\in\er,n\in\en.\]	
\begin{itemize}
	\item Rozhodn\v{e}te, zda \v{r}ada funkc\'i $\sum_{n=1}^\infty f_n$ stejnom\v{e}rn\v{e} konverguje na $\er$\\ \emph{(Hint: rozepi\v{s}te si p\v{r}edpis funkce bez absolutn\'ich hodnot pro $x<-1/n^2$, $x\in [-1/n^2,1/n^2]$ a pro $x>1/n^2$)}.
	\item Doka\v{z}te, \v{z}e funkce $f(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ je spojit\'a v bod\v{e} $3$. 
	\item Doka\v{z}te, \v{z}e funkce $f(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ je klesaj\'ic\'i na intervalu $(2,\infty)$.
\end{itemize}
$\textup{(10 bod\r{u})}$
\end{example}

\begin{example}Nech\v{t}je d\'ana mno\v{z}ina
\[M:=\{(x,y,z)\in\er^3\colon 0<xz<x^2+y^2<1, z>0\}.\]
\begin{itemize}
		\item Pro\v{c} je mno\v{z}ina $M$ m\v{e}\v{r}iteln\'a?
		\item Pro\v{c} je funkce $f(x,y,z) = \frac{x}{x^2+y^2}$, $(x,y,z)\in M$ m\v{e}\v{r}iteln\'a?
		\item Spo\v{c}t\v{e}te integr\'al $\int_{M} f(x,y,z) \dl{3}$ (hint: pou\v{z}ijte v\'alcov\'e sou\v{r}adnice).
		\end{itemize}
		$\textup{(10 bod\r{u})}$
\end{example}

\begin{example}Uva\v{z}ujme funkci $F$ zadanou p\v{r}edpisem
	\[F(a):=\int_0^\infty \frac{\exp(-a(x+1))}{x+1}(2x+1) \dx,\qquad a\in (0,\infty).\]
    \begin{itemize}
    	\item Doka\v{z}te, \v{z}e $F(a)\in\er$ pro $a\in (0,\infty)$.        
        \item Vyj\'ad\v{r}ete $F'(a)$ pro $a\in (0,\infty)$ pomoc\'i integr\'alu a vy\v{s}et\v{r}ete monotonii funkce $F$ na $(0,\infty)$.
        \item Vyj\'ad\v{r}ete $F''(a)$ pro $a\in (0,\infty)$ pomoc\'i integr\'alu, vy\v{s}et\v{r}ete konvexitu/konk\'avitu funkce $F$ na $(0,\infty)$.
    \end{itemize}
    \emph{Pozn: M\r{u}\v{z}ete bez d\r{u}kazu pou\v{z}\'ivat, \v{z}e pro ka\v{z}d\'y polynom $P$ a ka\v{z}d\'e $C>0$ je integr\'al $\int_0^\infty P(x)\exp(-Cx) \dx$ konvergentn\'i}\\ $\textup{(10 bod\r{u})}$
\end{example}

\begin{example}Pro $2$-periodickou funkci $f$, kter\'a je na intervalu $[-1,1)$ definov\'ana p\v{r}edpisem
\[f(x)=\begin{cases}-1, & x\in[-1,0],\\
x, & x\in (0,1)\end{cases}\]
nalezn\v{e}te Fourierovu \v{r}adu. Pro ka\v{z}d\'e $x\in (-1,1)$ nalezn\v{e}te sou\v{c}et t\'eto Fourierovy \v{r}ady.\\[10pt]
$\textup{(10 bod\r{u})}$
\end{example}

\newpage
%%%%Varianta D%%%%%%
\noindent\begin{center}\textbf{Kalkulus 3, ZS 2018-2019\\Zad\'an\'i p\'isemn\'e \v{c}\'asti zkou\v{s}ky - Varianta D}\end{center}
 
 \bigskip
 
\begin{example}Nech\v{t} je d\'ana posloupnost funkc\'i $(f_n)_{n=1}^\infty$ p\v{r}edpisem
	\[f_n(x) = \exp\Big(n\big(|x-1|-2\big)\Big),\quad x\in\er,n\in\en.\]
	\begin{itemize}
		\item Vy\v{s}et\v{r}ete, pro kter\'a $x\in\er$ existuje bodov\'a limita funkc\'i $f_n$\\ (tj. pro kter\'a $x\in\er$ m\'ame $\lim_{n\to\infty} f_n(x)\in\er$).
		\item Vy\v{s}et\v{r}ete, zda posloupnost $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ konverguje stejnom\v{e}rn\v{e} na $(0,1]$.
		\item Vy\v{s}et\v{r}ete, zda posloupnost $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ konverguje stejnom\v{e}rn\v{e} na $[1,3)$.
		\end{itemize}
		$\textup{(10 bod\r{u})}$
\end{example}

\begin{example}Nech\v{t}je d\'ana mno\v{z}ina
\[M:=\{(x,y,z)\in\er^3\colon x^2+y^2\leq 1, z\geq 0, x^2+y^2 + z^2\leq 4\}.\]
\begin{itemize}
		\item Pro\v{c} je mno\v{z}ina $M$ m\v{e}\v{r}iteln\'a?
		\item Pro\v{c} je funkce $f(x,y,z) = x^3z$, $(x,y,z)\in M$ m\v{e}\v{r}iteln\'a?
		\item Spo\v{c}t\v{e}te integr\'al $\int_{M} f(x,y,z) \dl{3}$ (hint: pou\v{z}ijte v\'alcov\'e sou\v{r}adnice).
		\end{itemize}
		$\textup{(10 bod\r{u})}$
\end{example}

\begin{example}Uva\v{z}ujme funkci $F$ zadanou p\v{r}edpisem
	\[F(a):=\int_0^\infty \frac{\sin ax}{e^x - 1} \dx,\qquad a\in \er.\]
    \begin{itemize}
    	\item Doka\v{z}te, \v{z}e $F(a)\in\er$ pro $a\in \er$.
			\item Vyj\'ad\v{r}ete $F'(a)$ pro $a\in (0,\infty)$ pomoc\'i integr\'alu.
			\item Uka\v{z}te, \v{z}e pro ka\v{z}d\'e $x\in (0,\infty)$ a $a\in\er$ plat\'i $\frac{\sin ax}{e^x - 1} = \sin(ax)e^{-x}\sum_{n=0}^\infty e^{-nx}$.
      \item Ov\v{e}\v{r}te mo\v{z}nost z\'am\v{e}ny \v{r}ady a integr\'alu a vyj\'ad\v{r}ete pro ka\v{z}d\'e $a\in\er$ integr\'al $F(a)$ jako \v{c}\'iselnou \v{r}adu.        
    \end{itemize}
    $\textup{(10 bod\r{u})}$
\end{example}

\begin{example}Pro $2\pi$-periodickou funkci $f$, kter\'a je sud\'a a na intervalu $[0,\pi)$ je definov\'ana p\v{r}edpisem
\[f(x)= \frac{\pi}{2} - \left|x-\frac{\pi}{2}\right|,\quad x\in [0,\pi)\]
nalezn\v{e}te Fourierovu \v{r}adu.\\ Pomoc\'i Parsevalovy rovnosti pak odvo\v{d}te sou\v{c}et \v{r}ady $\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{4}{(4n+2)^2}\right)^2$.\\[10pt]
$\textup{(10 bod\r{u})}$
\end{example}

 
\end{document}
