Nabídka tématu závěrečné práce: Tlakově robustní metody v nestlačitelném proudění¶
English is possible
The thesis language can be English too. Ask me for the description of the project if interested.
Tlakově robustní metody mění pravidla hry v numerických metodách nestlačitelného proudění.
Diskretizace podmínky nestlačitelnosti \(\operatorname{div}\mathbf{u}=0\) je ústředním tématem numerického řešení nestlačitelného proudění. Klasické metody diskretizace jako Hood–Taylor vynucují podmínku ve smyslu ortogonality na konečně dimenzionální prostor \(Q_h\):
V poslední dekádě došlo k prudkému rozvoji tlakově robustních metod, jež zajišťují splnění podmínky bodově:
Ukazuje se, že tento aspekt má zásadní vliv na stabilitu a přesnost metod. Modelový příklad s Coriolisovou silou v animaci ukazuje nerobustnost klasické metody Hood–Taylor. Nežádoucí efekt se zjemněním sítě mizí, nicméně může být libovolně velký.
Následující příklad proudění je Taylor–Green vortex. Klasická metoda Hood–Taylor \(\mathbf{P}_2\)–\(P_1\) vykazuje kvůli své tlakové nerobustnosti značnou nestabilitu a řešení je velice brzo nepoužitelné.
Oproti tomu tlakově robustní metoda (zde Scott–Vogelius \(\mathbf{P}_2\)–\(P_1^\mathrm{disc}\) na Clough–Tocher makroelementu) je mnohem robustnější.
Cílem bakalářské práce je seznámit se s numerickým řešením nestlačitelného proudění s důrazem na tlakově robustní metody. Studující nastuduje přehledovou literaturu k tématu, zejména doi:10.1137/15M1047696. Součástí práce je implementace a numerické experimenty za pomocí softwarové knihovny Firedrake nebo podobné. Jazykem práce bude angličtina, čeština nebo slovenština dle volby studujícího.
Práci lze jako diplomovou rozšířit o následující téma: Hledání metody nízkého polynomiálního stupně, zejména ve 3D. Jako výchozí bod by bylo možne hledat alternativní iterativní schémata k Scott–Vogelius metodám se singulárními vrcholy, např. aplikace předpodmíněných metod Krylovovských proprostorů na Scott–Vogelius pár na Powell–Sabin makroelementu.