Přednáška z Algebry I a Algebry II pro 2. ročník matematiky
v roce 2002/2003 (ALG026, ALG027)

 

        

1. Základní pojmy z teorie čísel. Tato kapitola obsahuje základní tvrzení o dělitelnosti na přirozených číslech, jako existence největších společných dělitelů a Eukleidův algoritmus, Čínská věta o zbytcích nebo výpočet Eulerovy funkce. Dále jsou popsány kongruence a faktorizace celých čísel. Podkapitoly: 1.A Dělitelnost v přirozených číslech a 1.B Kongruence a faktorizace celých čísel.

2. Grupy. Budou předneseny základy abstraktní teorie grup se zaměřením na konečné a řešitelné grupy. V úvodu se seznámíme s pojmy pologrupy, podpologrupy a konečné cyklické grupy. Pro konečné grupy dokážeme Lagrangeovu větu a zavedeme pojem homomorfismu. V podkapitole 2.A Konečné cyklické grupy dokážeme například, že podgrupa konečné cyklické grupy je opět cyklická nebo charakterizaci konečných cyklických grup. Zavedeme typ a řád permutace. Podkapitola 2.B Homomorfismy a normální podgrupy obsahuje základy obecné teorie grup. Je v ní dokázána věta o izomorfismu a jsou zavedeny jednoduché a řešitelné grupy.

3. Okruhy. Budou probrány základy obecné teorie okruhů. Zvláštní pozornost je věnována okruhům polynomů. V podkapitole 3.A jsou dokázány analogie vět o jádru a obrazu a o izomorfismu pro okruhové homomorfismy. Dále jsou zavedeny jednoduché okruhy a je ukázána jejich souvislost s maximálními ideály okruhů. V podkapitole 3.B zkoumáme okruhy polynomů v jedné proměnné. Pokapitola se věnuje rozkladům na ireducibilní polynomy, kořenům polynomů, násobnosti kořenů a polynomům s celočíselnými koeficienty.

4. Tělesa. V této kapitole se zabýváme obecnou teorií těles. Jde především o algebraické prvky a algebraická rozšíření těles. Dokazujeme existenci a jednoznačnost algebraického uzávěru a algebraickou uzavřenost tělesa komplexních čísel. V závěru kapitoly zkoumáme vztah vlastností kořenů daného polynomu a grupy příslušného rozšíření (část Galoisovy teorie).

 

kontakt: Robert El Bashir

Zkoušky - zimní semestr

Požadavky ke zkoušce: kapitoly 1 a 2 (tedy podkapitoly 1.A, 1.B, úvod 2. kapitoly, 2.A, 2.B).

Příklad zkouškové písemky .

Zkoušky - letní semestr

Požadavky ke zkoušce: kapitoly 3 a 4 (tedy podkapitoly 3.A, 3.B, 4.A, 4.B a 4.C).

Příklad zkouškové písemky .