|
Libor Barto
|
|
| DOMU | VYZKUM | PRO STUDENTY |
ARCHIV 14/15 zimni semestr
[Zpet]
UNIVERSAL ALGEBRA 1 (NMAG405)
Prednaska: utery 14:00 - 15:30 K4
Cviceni: utery 15:40 - 17:10 K4
ZKOUSKA
- Pred zkouskou je nutne mit zapocet
- Termin: kdykoliv - napiste email, dohodneme se
PREDNASKY
- 7.10. Uvodni motivace. Algebra (formalismy pres typy a signatury). Homomorfismus, izomorfismus.
- 14.10. Poduniverzum, podalgebra. Produkt, mocnina, subpower. Kongruence, kvocient.
- 21.10. Varieta, V(K) = HSP(K). Homomorfismy a konstrukce. 3 vety o izomorfismu, veta o korespondenci.
- 28.10. ---
- 4.11. Svaz <-> svazove usporadana mnozina. Modularni svaz. Veta: modularni <=> zadna N5 <=> izomorfismy intervalu. Veta: modularni a existuje konecny maximalni retezec => maximalni retezce maji stejnou delku. Vety: kongruence v grupach permutuji => svaz kongruenci grupy je modularni.
- 11.11. Distributivni svaz. Veta: distributivni <=> dve majority stejne <=> zadne N5, M3 <=> nejvysse 1 doplnek v intervalech. Veta: Con(svaz) je distributivni. Veta: Distributivni svazy = podsvazy P(X). (dukaz pro konecne, pro nekonecne na cviceni)
- 18.11. Uplny svaz, uplny podsvaz, kompaktni prvky, algebraicky svaz. Uzaverovy operator, algebraicky uzaverovy operator. Korespondence (algebraicky) uzaverovy operator <-> (algebraicky) svaz. Galoisova korespondence, indukovane uzaverove operatory a dualni izomorfismus.
- 25.11. Prednaska se nekona
- 2.12. Direktni rozklad, interni charakterizace. Subdirektni produkt, SI algebra, interni charakterizace, uplne meet-nerozlozitelny prvek ve svazu, monolit SI algebry. Veta: kazda algebra je izomorfni subdirektnimu produktu SI algeber. Dusledek: varieta je urcena svymi SI.
- 9.12. Term, vyhodnoceni termu, identita, splnovani identity. Absolutne volna algebra. Volna algebra pro tridu. Vety: Volna algebra pro K je v SP(K), je rovna termum modulo identity platne v K; navic, identity platne v K = identity platne ve volne algebre.
- 16.12.
Galoisova korespondence dana relaci splnovani identit. Veta (Birkhoff): Uzavrene tridy algeber = variety.
Termova operace. Klon. - 6.1. Souvislost klonu a volnych algeber. Operace kompatibilni s relaci. Galoisova korespondence dana relaci kompatibility. Veta (Geiger, Bodnarcuk et al.): Pro konecnou mnozinu, uzavrene tridy operaci = klony.
ZAPOCET
Na zapocet je potreba vyresit vsechny priklady nize. Bud je reseni uznano na cviceni, nebo je mozne odevzdat pisemne (kdykoliv). Zapocet je nutna podminka ke zkousce.
Prubezne vysledky jsou v tabulce :
| Priklad | Jan (Z) | Radek (Z) | Marek G. | Azza | Juraj | Dominik (Z) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 4.1. | ok | ok | ok | ok | ok | ok |
| 4.2. | ok | ok | ok | ok | ok | |
| 4.3. | ok | ok | ok | ok | ||
| 5.1. | ok | ok | ok | ok | ok | ok |
| 5.2. | ok | ok | ok | ok | ok | ok |
| 6.1. | ok | ok | ok | ok | ||
| 6.2. | ok | ok | ok | ok | ||
| 6.3. | ok | ok | ok | ok | ||
| 6.4. | ok | ok | ok | ok | ||
| 8.1. | ok | ok | ok | ok | ok | ok |
| 8.2. | ok | ok | ok | ok | ||
| 9.1. | ok | ok | ok | ok | ok | |
| 10.1. | ok | ok | ok | ok | ok | |
| 10.2. | ok | ok | ok | ok | ok | |
| 11.1 | ok | ok | ok | ok |
Zapocet: Jan, Radek, Dominik, Marek R.
4.1. Ukazte, ze svaz L je modularni prave tehdy, kdyz pro libovolne a,b z L jsou zobrazeni phi, psi definovana vztahy phi(x)=x \vee b a
psi(x) = x \wedge a navzajem inverzni izomorfismy svazu [a \wedge b,a] a [b, a \vee b]
Definice: R \subseteq A x B je rektangularni, pokud existuji navzajem disjunktni A_1, \dots, A_k \subseteq A a navzajem disjunktni B_1, \dots, B_k \subseteq B
takove, ze R = A_1 x B_1 \cup .... \cup A_k x B_k.
4.2. Necht A,B jsou konecne mnoziny, R \subseteq A x B, a eta_A (resp. eta_B) je kernel projekce R na A (resp. B). Pak nasledujici tvrzeni jsou ekvivalentni.
(i) R je rektangularni
(ii) eta_A \circ eta_B = eta_B \circ eta_A
4.3. Necht V je varieta. Pak nasledujici tvrzeni jsou ekvivalentni
(i) Pro kazdou konecnou algebru A ve V a jeji libovolne kongruence alpha, beta plati alpha \circ beta = beta \circ alpha
(ii) Pro libovolne konecne A,B ve V a libovolne R \leq A x B je R rektangularni
Definice: filtr (nahoru uzavrena mnozina, uzavrena na \wedge), prvofiltr (kdyz je a \vee b ve filtru, pak je tam take a nebo b)
5.1 Kdyz L je distributivni a F je maximalni filtr (tj pro F \subseteq F' \subseteq L plati F'=F nebo F'=L), pak F je prvofiltr.
5.2. Kazdy distributivni svaz je izomorfni podsvazu (P(X), \cap, \cup)
(Napoveda: X:={vsechny prvofiltry}, f : L -> P(X) definujte predpisem f(l) = {F: l \in F})
6-7.1. Necht C je algebraicky uzaverovy operator. Pak L_C je algebraicky svaz a kompaktni prvky jsou prave uzavery konecnych mnozin.
6-7.2. Necht M je algebraicky svaz. Pak existuje algebraicky uzaverovy operator C na nejake mnozine A tak, ze M je izomorfni L_C.
(Napoveda: A:={vsechny kompaktni prvky})
6-7.3. Necht C je uzaverovy operator na A. Pak existuje B a \Phi \subseteq A x B tak, ze C se shoduje s uzaverem vzhledm k \Phi.
6-7.4. Pro kazdy algebraicky svaz L existuje algebra A tak, ze L je izomorfni Sub(A). (Napoveda: pouzijte cviceni 6-7.2.)
Definice: Grupoid A je
- left-zero semigroup, pokud xy=x
- right-zero semigroup, pokud xy=y
- rectangular band, pokud (xy)z=x(yz)=xz, xx=x
- polosvaz, pokud (xy)z = x(yz), xy=yx, xx=x
8.1. A je rektangular band <=> A je izomorfni L x R, kde L je left-zero semigroup a R je right-zero semigroup. (Napoveda: uvazujte kongruenci {(x,y): \forall z xz=yz} a podobnou, pouzijte charakterizaci produktu z prednasky)
8.2. Kazdy polosvaz je izomorfni podalgebre 2^X (kde 2 zde znaci dvojprvkovy polosvaz). (Napoveda: staci ukazat, ze jediny SI polosvaz je 2; k tomu ukazte, ze pro alespon triprvkovy polosvaz a libovolne prvky a \neq b existuje netrivialni kongruence \alpha (dokonce s dvema bloky), ktera neobsahuje (a,b))
9.1 Necht V je varieta vsech komutativnich pologrup splnujicich xx=xxx a |X|=n. Urcete velikost volne algebry pro V nad mnozinou X (v zavislosti na n).
10.1. Ukazte, ze (v signature grup) je Z ve variete generoavne {Z_n: n \in N}, ale neni ve variete generovane {Z_n: n < k} pro zadne k. Z toho vypozorujte, ze HSP neni algebraicky uzaverovy operator.
10.2. Popiste vsechny podvariety variety abelovskych grup. (Napoveda: ukazte, ze pro kazdou takobou varietu V je V = Mod(nx=0) pro nejake n.)
11.1. Nech A={0,1}, m je ternarni majoritni operace a p je ternarni minoritni operace. Dokazte, ze p, meet ani join nejsou termove operace algebry (A; m)
LITERATURA
- C. Bergmann: Universal Algebra, CRC Press, 2012. (v knihovne nekolik vytisku)
- S. Burris, H.P. Sankappanavar: A course in universal algebra, 1981. Online version (update 2012) here
- J. Jezek: Universal algebra.
- D. Stanovsky, Priklady z algebry (priklady na obecne algebry jsou na stranach 41-49)
ARCHIV
[Archiv 2013/14 letni semestr]
[Archiv 2013/14 zimni semestr]
[Archiv 2012/13 letni semestr]
[Archiv 2012/13 zimni semestr]
[Archiv McMaster (anglicky)]
[Archiv 2009/10 letni semestr]
[Archiv 2009/10 zimni semestr]
[Archiv 2008/09 letni semestr]
[Archiv 2008/09 zimni semestr]
[Archiv 2007/08 letni semestr]
[Archiv 2007/08 zimni semestr]
[Archiv 2006/07 letni semestr]
[Archiv 2006/07 zimni semestr]
[Archiv 2005/06 letni semestr]