Podrobný obsah

Témata, kterým se věnuje tato sbírka úloh, jsme rozdělili do tří okruhů:

(A) - téma je součástí základního kurzu matematické analýzy, obsahuje převážně početní úlohy.
(B) - téma je součástí kurzu ODR I, obsahuje početní i teoretické úlohy.
(C) - téma je součástí kurzu ODR II nebo výběrových přednášek, obsahuje početní i teoretické úlohy.

1. Kapitola: Separované proměnné (A)
Úlohy na separované proměnné, homogenní rovnice, další rovnice převoditelné na separované proměnné.

2. Kapitola: Metoda integračního faktoru (A)
Lineární rovnice prvního řádu, Bernoulliovy rovnice, rovnice ve tvaru totálního diferenciálu.

3. Kapitola: Lineární rovnice s konstantními koeficienty (A)
Lineární rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty a nulovou pravou stranou, případně pravou stranou ve speciálním tvaru.

4. Kapitola: Soustavy lineárních rovnic s konstantními koeficienty (A)
3 metody řešení soustav lineárních rovnic - úpravou soustavy, úpravou lambda-matice, pomocí vlastních čísel a vlastních vektorů.

5. Kapitola: Obecné lineární problémy (A,B)
Variace konstant pro lineární rovnice n-tého řádu a soustavy, Eulerovy rovnice, metoda snižování řádu.

6. Kapitola: Kvalitativní analýza (B)
Metody, jak zjistit co nejvíce informací o řešení (monotonie, definiční obor, konvexita, chování v nekonečnu) aniž bychom rovnici řešili. Barrowův vzorec.

7. Kapitola: Maticová exponenciála (B)
Maticová exponenciála a jiné maticové funkce, jejich výpočet a souvislost s diferenciálními rovnicemi.

8. Kapitola: Stabilita (B)
Stabilita a exponenciální stabilita pro lineární rovnice, linearizovaná stabilita (nestabilita) pro nelineární rovnice, ljapunovská stabilita.

9. Kapitola: Nelineární systémy (B)
2 metody řešení autonomních nelineárních systémů, první integrál, převod do polárních souřadnic, nelineární rovnice 2. řádu.

10. Kapitola: Laplaceova transformace (B)
Základní vlastnosti Laplaceovy transformace a aplikace na řešení lineárních rovnic s konstantními koeficienty a integrodiferenciálních rovnic.

11. Kapitola: Jednoznačnost a diferencovatelnost řešení (B)
Jednoznačnost řešení, diferencovatelnost podle počátečních podmínek, resp. parametrů.

12. Kapitola: Šturmova srovnávací věta (B)
Teorie týkající se rozložení nulových bodů lineárních rovnic 2. řádu.

13. Kapitola: Dynamické systémy (C)
Základní vlastnosti dynamických systémů, La Salleho princip invariance, Poincaré-Bendixsonova teorie.

14. Kapitola: Optimální regulace (C)
Regulovatelnost, pozorovatelnost, Pontrjaginův princip maxima.

15. Kapitola: Bifurkace (C)
Základní typy bifurkací, Hopfova bifurkace.

16. Kapitola: Centrální varieta (C)
Vyšetřování stability pomocí aproximací centrální variety.