Požadavky ke zkoušce ODR2 (NMMA047)
Zkouška sestává z písemné (početní) a ústní (teoretické) části. Ke složení zkoušky je nutné a postačující získat 15 bodů (ze 30 možných) z každé části. Známka závisí na celkovém počtu bodů následujícím způsobem:
- 30 - 40 bodů: dobře
- 41 - 50 bodů: velmi dobře
- 51 - 60 bodů: výborně
Písemná část
Písemná část zkoušky obsahuje 3 úlohy po deseti bodech. Úlohy jsou z následujících čtyř témat:
- dynamické systémy
- bifurkace
- centrální varieta
- teorie řízení
Písemka trvá 90 minut a studenti smí používat jen papír, psací potřeby a občerstvení. Literatura, poznámky ani elektronické přístroje nejsou povoleny.
Písemky z minulých let: zde
Ústní část
Ústní část se skládá ze dvou otázek po 15 bodech. Jedna otázka typicky odpovídá jedné sekci přednášky (např. Poincarého--Bendixsonova teorie, Hopfova bifurkace, ...)
Úkolem je říci, o čem je příslušné téma, zformulovat a vysvětlit definice a věty a nakonec po dohodě se zkoušejícím dokázat některou větu (závisí na ambicích studenta).
Příklad zkouškové otázky:
1. Dynamické systémy v rovině Zformulujte definice a věty, uveďte příklady.
2. Caratheodoryova teorie Zformulujte definice a věty, uveďte příklady.
3. Dokažte zobecněnou Banachovu větu o kontrakci nebo Lemma o průniku omega-limitní množiny s transverzálou.
Seznam odpřednesených tvrzení (bude průběžně aktualizován):
1. Dynamické systémy
- dynamický systém, orbita, omega-limitní množina, invariantní množina, topologicky konjugované systémy
- Věta 1.1 - Vlastnosti omega-limitní množiny
- Věta 1.3 - O rektifikaci
- Věta 1.4 - La Salleho princip invariance
- transverzála
- Věta 1.5 - Poincarého-Bendixsonova
- Lemma 1.7 - O průsečících orbity s transverzálou
- Lemma 1.8 - O průniku omega-limitní množiny s transverzálou
- Věta 1.9 - Bendixsonovo-Dulacovo kritérium
2. Caratheodoryova teorie
- caratheodoryovská funkce, caratheodoryovské řešení
- Lemma 2.4 - Integrovatelnost pravé strany
- Lemma 2.5 - Ekvivalence diferenciální a integrální rovnice
- Lemma 2.6 - Zobecněná Peanova (myšlenka důkazu)
- Věta 2.7 - Zobecněná Banachova o kontrakci
- Věta 2.8 - Zobecněná Picardova
3. Bifurkace
- bod bifurkace, lokální bifurkace, bifurkace typu sedlo-uzel, vidlička, transkritická
- Větička 3.1 - Nutná podmínka pro bifurkaci
- Věta 3.2 - Nutná podmínka pro bifurkaci (myšlenka důkazu)
- Věta 3.3 - Postačující podmínka pro bifurkaci sedlo-uzel
- Věta 3.4 - Postačující podmínka pro transkritickou bifurkaci
- Lemma 3.5 - O vydělení
- Věta 3.6 - Postačující podmínka pro bifurkaci typu vidlička (bez důkazu)
- Věta 3.7 - O Hopfově bifurkaci
- Věta 3.8 - O chování řešení v okolí Hopfovy bifurkace (bez důkazu)
4. Stabilní, nestabilní a centrální variety
- stabilní, nestabilní, centrální varieta
- Věta 4.1 - O existenci invariantní variety
- Lemma 4.2 - Ekvivalence (INV) a (RED)
- Lemma 4.3 - Omezené řešení lineární rovnice
- Lemma 4.4 - Ekvivalence (INV) a (PB)
- Věta 4.5 - Sledovací vlastnost
- Důsledek 4.6 - Princip redukce stability
- Lemma 4.7 - O kuželu a stínu
- Věta 4.8 - Aproximace centrální variety
5. Regulace
- oblast regulovatelnosti, Kalmanova matice regulovatelnosti
- Věta 5.1 - Oblast regulovatelnosti lineárního systému
- Věta 5.3 - Linearizovaná regulovatelnost
- Věta 5.4 - Lokální regulovatelnost (LSR) s omezením
- Věta 5.5 - Vlastnosti množiny R(t)
- Věta 5.6 - Globální regulovatelnost (LSR) s omezením (bez důkazu)
- Věta 5.7 - O existenci regulace typu bum-prásk
- Věta 5.8 - Existence časově optimální regulace
- Věta 5.9 - Princip maxima pro lineární úlohu
- Věta 5.10 - Princip maxima pro nelineární úlohu (bez důkazu)
- Věta 5.11 - Postačující podmínka pro nelineární úlohu (bez důkazu)