Požadavky ke zkoušce z ODR I (NMMA333)

Zkouška se skládá z písemné (početní) a ústní (teoretické) části. Z každé části je možné získat až 30 bodů. K úspěšnému složení zkoušky je nutné získat aspoň 15 bodů z každé části. Výsledná známka je pak následující:

Písemná část

Písemná část se skládá ze tří úloh, za každou je možné získat až 10 bodů. Úlohy jsou z následujících oblastí: Písemná část trvá 90 minut. Studenti nesmí používat žádnou literaturu ani kalkulačky.

Písemky z roku 2014/15 zde.

Ústní část

Ústní část se skládá ze dvou otázek, za každou je možné získat až 15 bodů. Každá otázka typicky odpovídá jedné kapitole (resp. polovině kapitoly). Úkolem je zformulovat důležité definice a tvrzení z dané oblasti. Následně je student vyzván, aby dokázal určenou větu a zodpověděl doplňující otázky.

Příklad zkouškové otázky:
1. Lineární rovnice s nekonstantními koeficienty
Dokažte Liouvilleovu větu o wronskiánu.
Jaký je geometrický význam wronskiánu? Jak se tedy mění objem pro soustavu s konstantními koeficienty?
2. Ljapunovské funkce a stabilita
Dokažte větu o asymptotické stabilitě.
Aplikujeme-li větu na rovnici druhého řádu, jakou informaci o řešení získáme? Uveďte příklad pozitivně definitní funkce na R^n.

Seznam odpřednesených tvrzení:

1. Existence řešení systému diferenciálních rovnic 2. Jednoznačnost řešení pro systém diferenciálních rovnic 3. Maximalita řešení 4. Závislost na počátečních podmínkách 5. Lineární rovnice s nekonstantními koeficienty 6. Lineární rovnice s konstantními koeficienty 7. Stabilita 8. První integrál 9. Ljapunovské funkce a stabilita 10. Floquetova teorie