Požadavky ke zkoušce z ODR (NMMA333)

Zkouška se skládá z písemné (početní) a ústní (teoretické) části. Z každé části je možné získat až 30 bodů. K úspěšnému složení zkoušky je nutné získat aspoň 15 bodů z každé části. Výsledná známka je pak následující:

30 - 39 bodů: dobře
40 - 49 bodů: velmi dobře
50 - 60 bodů: výborně

Písemná část

Písemná část se skládá ze tří úloh, za každou je možné získat až 10 bodů. Úlohy jsou z následujících oblastí:

Kvalitativní analýza
Derivace řešení podle počáteční podmínky či parametru
Maticová exponenciála a jiné maticové funkce
Linearizovaná stabilita a nestabilita
Stabilita pomocí ljapunovské funkce
Nelineární systémy a první integrál

Písemná část trvá 90 minut. Studenti nesmí používat žádnou literaturu ani kalkulačky.

Písemky z roku 2014/15 zde.

Ústní část

Ústní část se skládá ze dvou otázek, za každou je možné získat až 15 bodů. Každá otázka typicky odpovídá jedné kapitole (resp. polovině kapitoly). Úkolem je zformulovat důležité definice a tvrzení z dané oblasti. Následně je student vyzván, aby dokázal určenou větu a zodpověděl doplňující otázky.

Příklad zkouškové otázky:
1. Lineární rovnice s nekonstantními koeficienty
Dokažte Liouvilleovu větu o wronskiánu.
Jaký je geometrický význam wronskiánu? Jak se tedy mění objem pro soustavu s konstantními koeficienty?
2. Ljapunovské funkce a stabilita
Dokažte větu o asymptotické stabilitě.
Aplikujeme-li větu na rovnici druhého řádu, jakou informaci o řešení získáme? Uveďte příklad pozitivně definitní funkce na R^n.

Seznam odpřednesených tvrzení:

1. Existence řešení systému diferenciálních rovnic

Lemma 1.1 - O ekvivalenci diferenciální a integrální rovnice
Věta 1.2 - Arzelaova--Ascoliova věta
Věta 1.3 - Peanova věta

2. Jednoznačnost řešení pro systém diferenciálních rovnic

Věta 2.1 - Vztah lokální a globální jednoznačnosti
Věta 2.2 - Postačující podmínka lokální jednoznačnosti
Důsledek 2.3 - Lokální Picardova věta
Tvrzení 2.4 - Vztah C^1 a lokální lipschitzovskosti

3. Maximalita řešení

Věta 3.1 - Existence maximálního prodloužení
Důsledek 3.2 - Globální Picardova věta
Lemma 3.3 - Postačující podmínka pro existenci prodloužení
Věta 3.4 - O opuštění kompaktu

4. Závislost na počátečních podmínkách

Věta 4.1 - Gronwallovo lemma
Důsledek - o vzdálenosti dvou řešení
Věta 4.2 - Spojitost řešicí funkce
Věta 4.3 - Diferencovatelnost řešicí funkce
Věta 4.4 - Neexistence Blow-upu

5. Lineární rovnice s nekonstantními koeficienty

Věta 5.1 - Globální existence a jednoznačnost
Věta 5.2 - Prostor řešení
Věta 5.3 - Liouvilleova věta
Věta 5.4 - Variace konstant

6. Lineární rovnice s konstantními koeficienty

Věta 6.1 - Maticová exponenciála jakožto fundamentální matice
Důsledek 6.2 - Variace konstant pro konstantní koeficienty
Věta 6.3 - Vlastnosti maticové exponenciály
Věta 6.4 - O tvaru maticové exponenciály
Důsledek 6.5 - Růst maticové exponenciály
Věta 6.6 - asymptotické chování řešení (RKK) na podprostorech

7. Stabilita

Věta 7.1 - Stabilita (RKK)
Lemma 7.2 - Stabilita porušené (RKK)
Věta 7.3 - Linearizovaná stabilita
Věta 7.4 - Linearizovaná nestabilita

8. První integrál

Věta 8.1 - O orbitální derivaci
Věta 8.2 - O snížení řádu
Věta 8.3 - Existence lineárně nezávislých prvních integrálů

9. Ljapunovské funkce a stabilita

Věta 9.1 - Stabilita
Věta 9.2 - Asymptotická stabilita
Věta 9.3 - Ekvivalentní podmínky pro (LKH)

10. Lineární rovnice II - kvalitativní teorie

Věta 10.1 - Stabilita lineárních rovnice s nekonstatntními koeficienty
Tvrzení 10.2 - Stabilita libovolného řešení lineární rovnice
Tvrzení 10.3 - Stabilita porušené lineární rovnice
Věta 10.4 - Existence periodických řešení
Věta 10.5 - Floquetova o fundamentální matici periodické soustavy
Věta 10.6 - Stabilita pro lineární rovnice s periodickými koeficienty

11. Rovnice vyšších řádů

Věta 11.1 - Lokální existence
Věta 11.2 - Jednoznačnost a spojitá závislost
Věta 11.3 - Existence a jednoznačnost pro lineární rovnice vyššího řádu
Věta 11.4 - O množině řešení lineární rovnice vyššího řádu