Co znamená logo semináře?

Základní nápad

Edwards-Vennův diagram

Základní tvar loga je tzv. Edwards-Vennův diagram, což je Vennův diagram pro 4 množiny, který navrhnul A. W. F. Edwards. Návrh vychází z rozdělení sféry — obdélníky a kruh odpovídají polosférám a čtvrtá část vychází z tvaru, který se podobá švu na tenisovém míčku[1]. Pro obrázky podobných diagramů pro více množin viz Wikipedie. Tyto diagramy byly navrženy, když se na Cambridge připravovala vitráž na Vennovu počest.

Nicméně tvary, které tvoří nové logo, nejsou zvoleny náhodně. Mají svůj skrytý matematický půvab:

Zlatý obdélník

Zlatý obdélník

Zlatý řez znají matematici již od mateřské školky. Jde o známou konstantu $$\varphi:=\frac{1+\sqrt{5}}{2},$$ která se vyskytuje napříč uměním (od Da Vinciho obrazů po Beethovenovy symfonie). Mimochodem, zlatý řez je limitou poměru dvou po sobě jdoucích členů Fibonacciho posloupnosti, a dá vyjádřit pomocí řetězového zlomku jako $$\varphi=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{\ddots }}}}}.$$ Zlatý obdélník je obdélník s poměrem stran $1:\phi$. Existují studie, které říkají, že lidem se zlatý obdélník líbí více nežli obdelníky jiné[2] (byť další studie neměly prokazatelné výsledky). Zlatý obdelník je také charakterizován vlastností, že když z něj odstřihneme čtverec, tak dostaneme opět (menší) zlatý obdélník.

Zlatý obdélník se dá také najít v pravidelném dvacetistěnu, a sice jako konvexní obal dvou protilehlých hran. A všech dvanáct vrcholů můžeme takto rozložit do tří vzájemně kolmých zlatých obdélníků, jejichž obvody navíc tvoří verzi Borromeanských kruhů.

Stříbrný obdélník

Stříbrný obdélník

Stejně jako zlatý řez lze definovat i řez stříbrný $$\delta_S:=1+\sqrt2.$$ Ve tvaru řetězového zlomku ho můžeme zapsat jako $$\delta_S = 2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{\ddots }}}}}.$$ Navíc je stříbrný řez limitou poměru po sobě jdoucích členů Pellovy posloupnosti (ta je definována podobně jako Fibonacciho rekurzivně, začíná dvojicí $0$ a $1$ a pak pokračuje pomocí pravidla $P_{n}=2P_{n-1}+P_{n-2}$).

A opět můžeme definovat stříbrný obdélník jako obdelník s poměrem stran 1 ku stříbrnému řezu. Podobně jako u obdélníku zlatého je ten stříbrný charakterizován vlastností, že ustřihneme-li dva čtverce, tak dostaneme opět (menší) stříbrný obdélník. Se stříbrným obdélníkem se lze setkat také u pravidelného osmiúhelníku, když uvážíme konvexní obal protilehlých stran, nebo když z formátu A4 (nebo jiné velikosti papíru řady A) ustřihneme čtverec. Na téma stříbrného obdélníku má pěkné video kanál Numberphile.

Kochův obláček

Kochův obláček

Stejně jako zlatý řez i Kochova vločka/křivka je všem matematikům dobře známa. Je to jedna z prvních fraktálových křivek která byla popsána[3]. Klasická verze Kochovy vločky je vepsána do šestiúhelníku, nicméně chytrou volbou úhlů je možné dostat varianty i pro jiné $n$-úhelníky, například:

Koši
Čím větší je $n$, tím víc se to podobá kruhu. V logu je použit Kochův obláček pro $n=16$.

Pohovka

Pohovka

V souladu s názvem našeho semináře je poslední tvar inspirován problémem vskutku nematematickým — jaký tvar má mít pohovka, aby jí šlo pronést chodbou. Původní zadání je jednoduché — uvažujme chodbu ve tvaru písmene L, která má před i po zatáčce stejnou šířku. A otázkou je, jaký tvar má mít pohovka, pokud ji chceme mít co největší, ale musí ji (bez naklánění) jít pronést skrz tuto zatáčku. O tomto problému pojednává krásný článek a neméně krásné video na kanálu Numberphile.

Prvním nápadem by mohl být čtverec — ten vskutku pronést lze, nicméně nejde o tvar největší.

čtverec
Dalším nápadem by mohl být půlkruh, ale ani on není optimální.
půlkruh
Tento problém je nicméně stále otevřený, zatím nejlepší řešení navrhnul Joseph Gerver[4]. To je tvořeno 3 úsečkami a 15 křivkami, z nichž každá má vlastní rovnici. O tomto tvaru se neví, jestli je optimální, nicméně je v jistém smyslu lokálním optimem.
Gerver

Nicméně pro účely loga je tento tvar nevhodný, a tedy je třeba úlohu trochu poopravit — co kdyby nešlo jen o zatáčku doprava, ale i doleva? Tento ambidextrózní problém je také otevřený, ale podobnými metodami jako Gerver lze dojít k tvaru, který poprvé popsal Dan Romik[5] (což je autor článku i mluvčí ve zmíněném videu):

Ambidextrous

  • [1] Edwards, Anthony William Fairbank (2004), Cogwheels of the Mind: The Story of Venn Diagrams, Baltimore, Maryland, ISBN 0-8018-7434-3.
  • [2] Livio, Mario (2002). The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number. New York: Broadway Books. ISBN 0-7679-0815-5.
  • [3] "Arkiv för matematik, astronomi och fysik / utgifvet af K. Svenska Vetenskaps-Akademien v.1 1903-1904". HathiTrust.
  • [4] J. L. Gerver. On moving a sofa around a corner. Geometriae Dedicata 42 (1992), 267-283. doi:10.1007/BF02414066.
  • [5] D. Romik. Differential equations and exact solutions in the moving sofa problem. To appear in Experimental Math.