Trigonometrie

Úlohy k opakování 1

1. Mějme pravoúhlý trojúhelník s přeponou . Sestrojme nyní nad každou stranou rovnostranný trojúhelník. Dokažte, že součet obsahů trojúhelníků nad oběma odvěsnami je roven obsahu trojúhelníku nad přeponou.







2. V pravidelném desetiúhelníku je poloměr kružnice jemu opsané . Vypočítejte délku strany desetiúhelníku a poloměr kružnice vepsané.

Velikost úhlu je .






3. Mějme kvádr o délkách hran . Vypočítejte odchylky stěnových úhlopříček v jednotlivých stěnách a odchylky stěnových úhlopříček a tělesové úhlopříčky.










Výpočet první odchylky :


Výpočet druhé odchylky :


Výpočet třetí odchylky :


4. Ze stanice vyjedou současně dva vlaky po přímých tratích, které svírají úhel o velikosti . Rychlost prvního vlaku je , rychlost druhého . Jak daleko budou od sebe za ?

Vezmeme nejprve úhel vektorů rychlosti .



5. V trojúhelníku je , , . Určete velikosti všech vnitřních úhlů.







Z podmínky plyne, že , tudíž .
Ostatní úhly:

6. V lichoběžníku , jehož strany mají délky , vypočítejte velikosti vnitřních úhlů.










Tedy strana je kolmá na strany
A pro velikosti úhlů platí a .




7. V trojúhelníku vypočítejte výšku , těžnici a velikost úhlu , je-li dáno , , .















8. Vypočítejte obsah pravidelného destetiúhelníku, jestliže délka jeho strany v centimetrech má velikost

Středový úhel v trojúhelníku je a ostatní úhly jsou .


Obsah trojúhelníku je .
Obsah desetiúhelníku je desetinásobek obsahu trojúhelníku, tj. .

9. Dálkoměrem byly po osmi sekundách změřeny vzdálenosti pozorovatele od přímočaře rovnoměrně letícího letadla , , . Vypočítejte rychlost letadla.

Označíme si místo, kde se nachází pozorovatel s dálkoměrem. Spojnice místa se třemi polohami letadla nám vytvoří dva trojúhelníky se stranami a , kde je dráha, kterou uletí mezi měřeními rychlostí .
Označíme úhel, který svírají strany v trojúhelníku a doplňkový úhel k němu , který svírají strany v trojúhelníku .







10. Vypočítejte obsah rovnoběžníku, jehož úhlopříčky mají délky a jejichž odchylka je .







11. V jaké výšce nad zemí se nachází nejvyšší bod známé šikmé věže v Pise, jestliže odchylka osy věže od vodorovného směru je a její délka je ?











>>nahoru<<
©Marie Motyčková, 2006