Tvrzení: Û   Ù

 

Důkaz:

Tvrzení je ekvivalencí, proto musíme dokázat dvě implikace.

Dokažme Þ   Ù

Nechť je dáno e >0. Z předpokladu plyne

    $d>0 "x xÎP(c,d) Þ A-e < f(x) < A+e

 

Z toho vyplývá, že pro dané e

    $d>0 "x xÎP⁺(c,d) Þ A-e < f(x) < A+e

    $d>0 "x xÎP^-(c,d) Þ A-e < f(x) < A+e

a tedy, že a

Obr.

 

Dokažme Ù Þ  

Nechť je dáno e >0. Z předpokladů a plyne

    $d₁>0 "x xÎP^-(c,d₁) Þ A-e < f(x) < A+e

    $d₂>0 "x xÎP⁺(c,d₂) Þ A-e < f(x) < A+e

 

Definujme d, d = min(d₁,d₂).

Pak pro každé xÎP(c,d) platí A-e < f(x) < A+e

a tedy skutečně

Obr.

Konec důkazu.