Jak jsme viděli v první kapitole, můžeme mezi sebou funkce skládat. Podívejme se nyní podrobněji na skládání lineárních, resp. kvadratických funkcí, s funkcí absolutní hodnota.

1.

Skládání lineární funkce a funkce absolutní hodnota

Jestliže je dána a funkce , pak složením těchto dvou funkcí můžeme získat dvě různé funkce:
  •         
  •         
Pro konkrétní hodnoty koeficientů , můžeme vykreslit grafy obou funkcí

1a.

Jak je vidět z appletu, graf funkce, která vznikne složením těchto dvou funkcí v pořadí , můžeme získat tak, že nakreslíme graf funkce a část grafu, pro kterou jsou funkční hodnoty záporné, zobrazíme v osové souměrnosti podle osy . Stejný graf bychom získali i v případě, že bychom vykreslili dvě funkce

pro,
pro.

Graf funkce je sjednocením grafů a .

Poznámka
Výsledný graf si můžeme také prostě představit tak, že část grafu původní lineární funkce, která je pod osou , 'překlopíme' podél osy nahoru.
          


Ukažme si to na konkrétních hodnotách koeficientů , .



  pro  ,  tzn. pro   
  pro  , tzn. pro   





Poznámka
Pro která je výraz uvnitř absolutní hodnoty kladný resp. záporný, můžeme zjistit také tak, že určíme -ovou souřadnici bodu (případně bodů), pro který platí . Jinými slovy musíme vyřešit rovnici . Tomuto bodu se říká nulový bod. Nulový bod dělí osu na dva intervaly a . Na každém z těchto intervalů má funkční hodnota stejné znaménko. Vypočteme-li funkční hodnotu pro libovolný argument z těchto intervalů, pak snadno zjistíme, jestli jsou funkční hodnoty v daném intervalu kladné nebo záporné.


1b.

V případě, že skládáme tyto dvě funkce v pořadí , pak graf složené funkce získáme z grafu původní funkce tak, že funkční hodnoty pro záporné argumenty získáme zobrazením funkčních hodnot pro kladné argumenty v osové souměrnosti podle osy . Je vhodné si všimnout, že pro libovolné koeficienty je tato funkce sudá. Ke stejnému výsledku bychom došli i v případě, že bychom vykreslili dvě funkce


pro,
pro.

Graf funkce je sjednocením grafů a .

Poznámka
Výsledný graf si můžeme také prostě představit tak, že část grafu původní lineární funkce, která je napravo od osy ; 'překlopíme' podél osy doleva.
          


Ukažme si to na konkrétních hodnotách koeficientů , .



  pro  
  pro   





2.

Skládání kvadratické funkce a funkce absolutní hodnota

Jestliže je dána a funkce , pak složením těchto dvou funkcí můžeme získat dvě různé funkce:
  •         
  •         
Pro konkrétní hodnoty koeficientů , a můžeme vykreslit grafy obou funkcí.

2a.

Jak je vidět z appletu, graf funkce, která vznikne složením těchto dvou funkcí v pořadí , můžeme získat tak, že nakreslíme graf funkce a část grafu, pro kterou jsou funkční hodnoty záporné, zobrazíme v osové souměrnosti podle osy . Ke stejnému výsledku bychom došli i v případě, že bychom vykreslili tři funkce
pro,
pro.
pro.

Graf funkce je sjednocením grafů , a .
Čísla a (-ové souřadnice nulových bodů) jsou kořeny kvadratické rovnice . Tento předpis funkcí , , je platný pro - rozmyslete si, jaký by měly předpis funkce , , pro .
Intervaly, ve kterých je kvadratický výraz uvnitř absolutní hodnoty kladný, resp. záporný, určíme obdobně jako u skládání funkce absolutní hodnota s lineární funkcí. Nejprve, vyřešením kvadratické rovnice získáme nulové body a . Tyto body dělí osu na tři intervaly , a . Na každém z těchto intervalů nemění funkční hodnota své znaménko. Konkrétní znaménko na daném intervalu snadno získáme tak, že spočteme funkční hodnotu v libovolném bodě tohoto intervalu.

Ukažme si to na konkrétních hodnotách koeficientů , a



Nulové body této kvadratické funkce jsou a

pro,
pro.
pro.



2b.

V případě, že skládáme tyto dvě funkce v pořadí , pak graf složené funkce získáme z grafu původní funkce tak, že funkční hodnoty pro záporné argumenty získáme zobrazením funkčních hodnot pro kladné argumenty v osové souměrnosti podle osy . Je vhodné si všimnout, že pro libovolné koeficienty je tato funkce sudá. Ke stejnému výsledku bychom došli i v případě, že bychom vykreslili dvě funkce

pro,
pro.

Graf funkce je sjednocením grafů a .

Ukažme si to na konkrétních hodnotách koeficientů , a .


pro,
pro.