Analytická geometrie
Geometrie v prostoru - Vzájemná poloha přímek a rovin

Vzájemná poloha přímek a rovin

V této kapitole se budeme budeme zabývat vzájemnou polohou přímek a rovin v prostoru.

Vzhledem k tomu, že výpočty s obecnou rovnicí roviny jsou u tohoto typu úloh jednodušší, budeme v následujícím textu používat právě tento způsob vyjádření roviny.

Vzájemná poloha přímek v prostoru

Vzájemnou polohu dvou přímek v rovině jsme zkoumali v předchozí kapitole. V prostoru rozlišujeme čtyři vzájemné polohy dvou přímek p a q.

  • pq = ∅
    Pokud přímky p a q nemají žádný společný bod, mohou být rovnoběžné různé nebo mimoběžné.

    • Přímky p(A, u) a q(B, v) jsou rovnoběné různé, pokud nemají žádný společný bod a u = kv, pro nějaké krealne cislo.

    • Přímky jsou mimoběžné, pokud nemají žádný společný bod a zároveň nejsou rovnoběžné. Tato vzájemná poloha přímek nemůže nastat v rovině. Zapisujeme p mimobezne q.

  • pq = {P}
    Přímky p a q jsou různoběžné, mají jeden společný bod P. Zapisujeme p × q.
  • pq = p
    Přímky p a q jsou totožné. Zapisujeme p = q.
Obr. 4.5: Mimoběžky
Obr. 4.5: Mimoběžky
Poznámka

Totožnost přímek je speciální případ rovnoběžnosti. Tj. dvě totožné přímky jsou i rovnoběžné, ale dvě rovnoběžné přímky nemusí být totožné.

Úmluva: Rovnoběžnost přímek p a q budeme značit jako p || q. Nadále budeme jako rovnoběžné přímky označovat přímky rovnoběžné různé i přímky totožné. Bude-li potřeba polohy rozlišit, použije se příslušný pojem.

Samotný postup, kterým řešíme vzájemnou polohu dvou přímek v prostoru, je téměř stejný jako ten, který jsme používali v rovině. Je třeba si uvědomit, že přímka je v prostoru zadána jen parametricky a od toho se musí odvíjet i naše řešení.

Příklad 4.6

Určete vzájemnou polohu přímek p(A, u) a q(B, v), je-li A[1; 3; 5], B[-1; -2; 2], u = (2; 1; 1) a v = (-1; 2; 1).

Řešení
  • Podíváme-li se na směrové vektory u a v zadaných přímek, vidíme, že vektor u není násobkem vektoru v. To napovídá, že přímky p a q jsou buď různoběžné, nebo mimoběžné. Pokud jsou mimoběžné, nemají žádný společný bod, pokud jsou různoběžné, mají společný bod jeden.
  • Hledáme společné body přímek p a q:
    p: x = 1 + 2t, y = 3 - 2t, z = 5 + t; trealne cislo. q: x = -1 - s, y = -2 + 2s, z = 2 + s; srealne cislo.
  • Abychom určili společné body p a q, musíme vyřešit soustavu rovnic:
    1 + 2t = -1 - s,
    3 - 2t = -2 + 2s,
    5 + t = 2 + s.
  • Z druhé rovnice vyjádříme t = -5 + 2s. Dosadíme za t do třetí rovnice a vypočítáme s = 2 a zpětně potom t = - 1. Spočtené hodnoty parametrů s a t dosadíme zpět do první rovnice:
    1 - 2 = -1 - 2,
    -1 ≠ -3.
  • Protože soustava nemá žádné řešení, znamená to, že přímky p a q nemají žádný společný bod. To s přihlédnutím k úvaze na začátku řešení znamená, že přímky p a q jsou mimoběžné.

Vzájemná poloha přímky a roviny

V prostoru rozlišujeme tři možné vzájemné polohy roviny ρ a přímky p.

  • pρ = ∅ Přímka p je s rovinou ρ rovnoběžná různá. Přímka a rovina nemají žádný společný bod.
  • pρ = {P} Přímka p a rovina ρ jsou různoběžné. Přímka rovinu protíná v jednom bodě, bodě P. Zapisujeme p × ρ.
  • pρ = p Přímka p leží v rovině ρ. Společnými body jsou všechny body přímky p. Zapisujeme pρ.
Obr. 4.6: Vzájemná poloha přímky a roviny
Obr. 4.6: Vzájemná poloha přímky a roviny
Poznámka

Poloha, kdy přímka leží v rovině je speciální případ jejich rovnoběžnosti. Tj. přímky, která leží v rovině je s ní i rovnoběžná, ale přímka rovnoběžná s rovinou v ní nemusí ležet.

Úmluva: Rovnoběžnost přímky p a roviny ρ budeme značit jako p || ρ. Nadále budeme jako přímky rovnoběžné s rovinou označovat přímky, které jsou s ní rovnoběžné různé i přímky, které v ní leží. Bude-li potřeba polohy rozlišit, použije se příslušný pojem.

Z obr 4.6 je vidět, že vzájemná poloha závisí na vztahu normálového vektoru roviny a směrového vektoru přímky. Pokud jsou tyto na sebe kolmé, je přímka s rovinou rovnoběžná. Jestliže kolmé nejsou, přímka a rovina jsou různoběžné.

Pokud je přímka s rovinou rovnoběžná, je třeba zjistit, zda přímka v rovině náhodou neleží. Zvolíme jeden bod přímky a zkoumáme, zda v rovině leží, nebo neleží. Pokud ano, tak celá přímka leží v rovině, pokud ne, tak je přímka s rovinou rovnoběžná různá.

Příklad 4.7

Určete vzájemnou polohu přímky p(A, u) a roviny δ určené bodem B a jejím normálovým vektorem n, je-li A[1; 4; 2], B[4; 1; 0], u = (1; 1; 2) a n = (1; -1; 2). Jsou-li různoběžné, najděte jejich průsečík.

Řešení
  • Nejprve zkontrolujeme, zda je vektor u kolmý na vektor n:
    un = 1⋅1 + 1⋅(-1) + 2⋅2 = 4.
  • Vektor u není na v kolmý a to znamená, že p × δ. Má smysl hledat jejich průsečík. Určíme parametrickou rovnici přímky p a obecnou rovnici roviny δ.
    p:
    x = 1 + t,
    y = 4 + t,
    z = 2 + 2t; trealne cislo.
    δ:
    x - y + 2z - 3 = 0.
  • Do obecné rovnice roviny δ, dosadíme, za x, y, z vztahy z parametrické rovnice přímky p:
    (1 + t) - (4 + t) + 2(2 + 2t) - 3 = 0,
    1 + t - 4 - t + 4 + 4t - 3 = 0,
    4t = 2,
    t = ½.
  • To je hodnota parametru t odpovídající průsečíku P roviny δ a přímky p. Dosadíme-li do parametrické rovnice přímky t = ½, vypočítáme jeho souřadnice. Rovina δ a přímka p jsou různoběžné a jejich průsečíkem je bod P[3/2; 9/2; 3].
Úloha

Určete vzájemnou polohu přímky p(A, u) a roviny xy napoveda, je-li A[1; 2; 1] a u = (2; -1; 0).

Řešení

Vzájemná poloha dvou rovin

Hledání vzájemné polohy dvou rovin v prostoru je téměř shodné s hledáním vzájemné polohy dvou přímek v rovině, když jsou tyto určené obecnými rovnicemi. Vzájemné polohy dvou rovin ρ a ψ jsou stejné jako u přímek v rovině.

  • ρψ = ∅
    Roviny ρ a ψ jsou rovnoběžné různé. Nemají žádný společný bod.
  • ρψ = p
    Roviny ρ a ψ jsou různoběžné. Jejich průnikem je přímka p, kterou nazýváme průsečnice. Zapisujeme ρ × ψ.
  • ρψ = ρ
    Roviny jsou totožné. Zapisujeme ρ = ψ.
Obr. 4.7: Vzájemná poloha dvou rovin
Obr. 4.7: Vzájemná poloha dvou rovin
Poznámka

Totožnost rovin je speciální případ rovnoběžnosti. Tj. dvě totožné roviny jsou i rovnoběžné, ale dvě rovnoběžné roviny nemusí být totožné.

Úmluva: Rovnoběžnost rovin ρ a ψ budeme značit jako ρ || ψ. Nadále budeme jako roviny rovnoběžné označovat roviny, které jsou rovnoběžné různé i totožné. Bude-li potřeba polohy rozlišit, použije se příslušný pojem.

Příklad 4.8

Určete vzájemnou polohu rovin ρ: x - y + z = 0 a σ: 2x - 3y + z - 1 = 0. Jsou-li různoběžné, určete jejich průsečnici.

Řešení
  • Nejprve zjistíme, zda jsou roviny ρ a σ rovnoběžné, nebo různoběžné. Normálový vektor roviny ρ, nρ = (1; -1; 1) a normálový vektor roviny σ, nσ = (2; -3; 1). Je vidět, že nρ není násobkem nσ, a proto ρ × σ. Má tedy smysl hledat jejich průsečnici. Řešíme soustavu dvou rovnic o třech neznámých:
    x - y + z = 0,
    2x - 3y + z = 1.
  • Jednu z neznámých si zvolíme za parametr. Neznámou, kterou zvolíme za parametr musíme vybrat obezřetně, abychom mohli vypočítat zbylé proměnné. Kdyby například rovnice roviny σ byla 2x - 2y + z - 1 = 0 a my položili z = t, měli bychom problém, protože bychom soustavu nemohli dopočítat.
    V našem příkladě položíme x = t a vypočítáme soustavu:
    t - y + z = 0,
    2t - 3y + z = 1.
  • Z první rovnice vyjádříme z = y - t a dosadíme do druhé rovnice:
    2t - 3y + y - t = 1,
    -2y = 1 - t,
    y = (1 - t)/2.
  • Zpětně dopočítáme z = (1 - t)/2 - t = 1/2 - (3/2)t.
  • Zvolený parametr t, je zároveň parametrem v rovnici průsečnice p rovin ρ a σ.
    p:
    x = t,
    y = 1/2 - t/2,
    z = 1/2 - (3/2)t; trealne cislo.
© Jan Končel, 2009