Geometrie zive - logo

Čtyřúhelníky

Úvod

Zjednodušeně lze říci, že čtyřúhelník je n-úhelník pro n = 4. Přesnou definici čtyřúhelníku lze nalézt např. v [1]. Čtyřúhelníky mohou být konvexní či nekonvexní (viz rys). V této kapitole se budeme věnovat především konvexním čtyřúhelníkům, pro zjednodušení tedy pojmem "čtyřúhelník" budeme označovat konvexní čtyřúhelník, nebude-li výslovně uvedeno jinak.

otevři rys v CabriJava

Tento rys také ukazuje klasické označení čtyřúhelníka ABCD používané v této kapitole - vrcholy A, B, C a D a příslušné strany a, b, c a d.

Pod pojmem čtyřúhelník se skrývá mnoho konkrétnějších rovinných útvarů. Jejich klasifikací tato kapitola začíná. Z klasifikace je také odvozeno rozčlenění celé kapitoly.

  1. Klasifikace čtyřúhelníků
  2. Rovnoběžníky
  3. Lichoběžníky
  4. Různoběžníky
  5. Ostatní typy (deltoid, tečnový, tětivový)
  6. Další vlastnosti čtyřúhelníků
  7. Úlohy

Klasifikace čtyřúhelníků

Čtyřúhelníky lze rozdělit několika způsoby. Klasifikace zde uvedená vychází z rozdělení čtyřúhelníků na tři základní skupiny podle rovnoběžnosti stran:

  1. rovnoběžník - obě dvojice protějších stran rovnoběžné
    dále se dělí buď podle úhlů:
    1. pravoúhlý - čtverec, obdélník
    2. kosoúhlý - kosočtverec, kosodélník
    nebo podle délek stran:
    1. rovnostranný - čtverec, kosočtverec
    2. různostranný - obdélník, kosodélník
  2. lichoběžník - pouze jedna dvojice protějších stran rovnoběžná
    kromě obecného lichoběžníka známe ještě dva speciální typy:
    1. rovnoramenný lichoběžník - nerovnoběžné strany shodné
    2. pravoúhlý lichoběžník - jedno rameno kolmé k základně
  3. různoběžník - čtyřúhelník, jehož žádné dvě strany nejsou rovnoběžné

Nakonec čtyři typy čtyřúhelníků, které rozdělení podle rovnoběžnosti stran nepostihuje:

Rys 1 - Úhly v rovnoběžnících I.

Mějme dán rovnoběžník ABCD polohou jeho vrcholů bodů A, B a D.

otevři rys v CabriJava

Pohybujte vrcholy A, B a D. Všimněte si, které vlastnosti rovnoběžníka zůstávají zachovány. Co můžeme říct o délkách protějších (rovnoběžných) stran?

Protější strany jsou vždy shodné.

Jaká je závislost velikostí protějších úhlů?

Protější úhly jsou vždy shodné.

Rys 2 - Úhly v rovnoběžnících II.

Máme stejnou situaci jako v předchozím rysu, navíc jsou vytvořeny přímky procházející všemi čtyřmi stranami rovnoběžníka.

otevři rys v CabriJava

Zaměřte se nyní velikosti sousedních úhlů. Jaký je mezi nimi vztah?

Součet každé dvojice sousedních úhlů je úhel přímý (180°).

Se znalostí vlastností úhlů souhlasných a střídavých zdůvodněte, proč jsou protější úhly shodné a součet sousedních úhlů je úhel přímý.

Úhly ABC a A'AD jsou vzhledem k rovnoběžkám AD a BC úhly souhlasné a tedy shodné. Úhly A'AD a DAB jsou úhly vedlejší - jejich součet je 180°. Tedy i sousední úhly DAB a ABC dávají v součtu úhel přímý. Úhly A'AD a ADC jsou střídavé vzhledem k rovnoběžkám AB a CD a tedy shodné. A protože úhly A'AD a ABC jsou shodné, jsou protější úhly ABC a ADC shodné.

Rys 3 - Úhlopříčky v rovnoběžnících I.

Jsou dány dvě úsečky AC a BD tak, že se půlí (protínají se ve svých středech). Jimi je dán čtyřúhelník ABCD, úsečky AC a BD jsou jeho úhlopříčkami.

otevři rys v CabriJava

Měňte velikost a pozici úhlopříček přesunem bodů A, C nebo D (bod B se sám přesune tak, aby se úhlopříčky stále půlily). Jaké všechny druhy čtyřúhelníků jste tímto způsobem schopni vytvořit?

Čtverec, obdélník, kosodélník, kosočtverec - tedy všechny rovnoběžníky a žádné jiné čtyřúhelníky, protože protější strany zůstávají vždy rovnoběžné.

Dokažte, že pokud se úhlopříčky čtyřúhelníka půlí, pak je tento čtyřúhelník rovnoběžník.

Například: Trojúhelníky ASD a CSB jsou shodné (podle věty SUS), tedy úhly CBS a ADS jsou shodné. Tyto úhly jsou úhly střídavé vzhledem k přímkám AD a BC. A protože jsou tyto úhly shodné, přímky AD a BC jsou rovnoběžné. Analogicky se dá dokázat rovnoběžnost přímek AB a CD.

Důsledek: Rovnoběžníky lze definovat jako čtyřúhelníky, jejichž úhlopříčky se půlí.

Rys 4 - Úhly v rovnoběžnících II.

Nyní máme na jednom rysu dva čtyřúhelníky - kosočtverec ABCD (daný polohou bodů A, B a C) a kosodélník EFGH (daný polohou bodů E, F a H).

otevři rys v CabriJava

Víme, že v obou těchto rovnoběžnících se jejich úhlopříčky půlí. Měňte tvar kosočtverce ABCD pohybem bodů A, B a C. Jaké další vlastnosti si úhlopříčky kosočtverce zachovávají?

Úhlopříčky kosočtverce jsou na sebe vždy kolmé a vždy tvoří osy příslušných úhlů.

Platí tyto vlastnosti obecně pro všechny rovnoběžníky? (ověřte na kosodélníku EFGH)

Ne, úhlopříčky jsou na sebe kolmé a tvoří osy úhlů pouze u kosočtverce.

Rys 5 - Osové symetrie rovnoběžníků

Máme dán modrý rovnoběžník a přímku o. V osové symetrii podle této přímky je zkonstruován červený čtyřúhelník jako obraz modrého.

otevři rys v CabriJava

Měňte tvar a polohu modrého rovnoběžníka tak, aby splynul s červeným. Pokuste se takto získat co nejvíce různých typů rovnoběžníků. Jaké to jsou? Podle čeho jsou symetrické?

Obdélník - podle os stran, čtverec - podle os stran a podle úhlopříček, kosočtverec - podle úhlopříček.

Shrnutí vybraných vlastností rovnoběžníků

Pro všechny rovnoběžníky platí:

Navíc čtverce a kosočtverce mají tyto vlastnosti:

Rys 6 - Úhly v lichoběžníku, rovnoramenný lichoběžník

Máme dán obecný lichoběžník ABCD. Jeho rovnoběžné strany (a, c) se nazývají základny, strany b, d ramena.

otevři rys v CabriJava

Změnou polohy vrcholů C a D se pokuste vyrovnat délky ramen (stran b, d) a vytvořit tak z ABCD rovnoramenný lichoběžník (pozor, nikoliv rovnoběžník). Co se stane s velikostmi úhlů u strany a? Sledujte zobrazované naměřené hodnoty (berte přitom zřetel na možné zaokrouhlovací chyby).

S vyrovnáním délek ramen se vyrovnají i velikosti daných úhlů.

Jaký je vztah mezi úhly DAB a CDA, resp. ABC a BCD? Pokuste se stručně zdůvodnit.

Součet úhlů DAB a CDA je 180° - z rovnoběžnosti základen a vlastností úhlů souhlasných a střídavých (podobně jako u rovnoběžníků výše).

Důsledek: Součet velikostí vnitřních úhlů libovolného lichoběžníka je 360°.

Poznámka: Tuto vlastnost později dokážeme pro každý čtyřúhelník.

Rys 7 - Střední příčka lichoběžníka I.

Je dán lichoběžník ABCD. Body E, F jsou středy jeho ramen. Úsečka EF se nazývá střední příčka lichoběžníka.

otevři rys v CabriJava

Posunem bodů A, B, C, D měňte tvar a pozici lichoběžníka. Jaká je poloha střední příčky vzhledem k základnám?

Střední příčka je vždy rovnoběžná se základnami.

Jaký je vztah mezi délkou střední příčky a délkami základen? (Bez důkazu, ten provedeme v následujícím rysu.)

Délka střední příčky je rovna aritmetickému průměru délek základen, tedy |EF| = (a + c) / 2.

Rys 8 - Střední příčka lichoběžníka II.

Vyjdeme z předchozího rysu lichoběžníka ABCD a jeho střední příčky EF. Navíc je sestrojen bod X jako průsečík přímek EC a AB.

otevři rys v CabriJava

Dokažte, že úsečka EF, tedy střední příčka lichoběžníka ABCD, je střední příčkou trojúhelníka XBC.

  1. Trojúhelníky XAE a CDE jsou shodné (|DE| = |EA|, úhly XEA a DEC jsou vrcholové a úhly XAE a EDC jsou střídavé vzhledem k rovnoběžným přímkám procházející základnami, tedy shodné). Z toho:
  2. |XA| = c, |XB| = a + c
  3. a |XE| = |EC|, tedy E je středem strany XC.
  4. E je středem strany XC a F je středem strany BC, tedy EF je střední příčkou trojúhelníka XBC, c.b.d.

Důsledek: z vlastností střední příčky trojúhelníka (vyplývající z podobností trojúhelníků XBC a EFC v poměru 2:1) dostáváme důkaz tvrzení z předchozího rysu, tedy:

|EF| = (a + c) / 2,
EF || AB.

Rys 9 - Vepsaný rovnoběžník

Je dán čtyřúhelník ABCD. Středy jeho stran označíme postupně K, L, M a N (viz rys). Tyto středy tvoří vrcholy čtyřúhelníka KLMN.

otevři rys v CabriJava

Měňte tvar čtyřúhelníka ABCD posunem jeho vrcholů. Tím se mění i tvar čtyřúhelníka KLMN. Jaké všechny typy čtyřúhelníků jste takto schopni vytvořit z čtyřúhelníku KLMN?

Všechny rovnoběžníky (čtverec, obdélník, kosočtverec, kosodélník) a žádné jiné.

Pokuste se svou odpověď dokázat.

Nápověda: Úsečka NK je střední příčkou trojúhelníka ABD.

Upravte tvar čtyřúhelníka ABCD tak, aby byl postupně čtverec, kosočtverec, obdélník a kosodélník. Jaké tvary bude mít v jednotlivých případech vnitřní čtyřúhelník KLMN?

Čtverec, obdélník, kosočtverec, kosodélník.

Pokuste se upravit tvar čtyřúhelníka ABCD tak, aby zelené trojúhelníky AKN a KBL by shodné (alespoň přibližně). Jaký tvar bude mít čtyřúhelník ABCD?

ABCD bude rovnoramenný lichoběžník.

Jaký bude vztah mezi modrými trojúhelníky MDN a MCL?

Modré trojúhelníky budou shodné.

Rys 10 - Deltoid

Je dán deltoid ABCD s hlavní úhlopříčkou AC (viz rys).

otevři rys v CabriJava

Pohybem bodů A, B a D je možné libovolně měnit tvar deltoidu ABCD. Jaké typy čtyřúhelníků, které již znáte, z něj dokážete utvořit?

Čtverec, kosočtverec.

Jaký je vztah mezi úhly u vrcholů A a C?

Úhly jsou shodné.

Rys 11 - Tětivový čtyřúhelník I.

Je dán čtyřúhelník ABCD. Vrcholům A, B a C je opsána červená kružnice, vrcholům B, C, D zelená kružnice a vrcholům D, A, B hnědá kružnice.

otevři rys v CabriJava

Pohybujte vrcholy A, B, C a D tak, aby všechny kružnice splynuly v jedinou (přibližně). Jak dosáhneme toho, aby všechny kružnice splynuly např. s červenou kružnicí?

Vrchol, který na červené kružnici neleží (v tomto případě D) přesuneme kamkoliv na ni.

Jak se nazývá čtyřúhelník, který takto vznikne (všechny jeho vrcholy leží na jedné kružnici)?

Tětivový čtyřúhelník.

Rys 12 - Tětivový čtyřúhelník II.

Je dána kružnice k, na ní leží vrcholy tětivového čtyřúhelníka ABCD.

otevři rys v CabriJava

Přesunem vrcholů čtyřúhelníka po kružnici (se zachováním pořadí) zkuste vytvořit co nejvíce druhů čtyřúhelníků, které již znáte. Které to jsou?

Čtverec, obdélník, rovnoramenný lichoběžník a deltoid, který má dva protější úhly pravé.

Rys 13 - Tětivový čtyřúhelník - vnitřní úhly

Je dána kružnice k, na ní leží vrcholy tětivového čtyřúhelníka ABCD.

otevři rys v CabriJava

Pohybujte vrcholy čtyřúhelníka po kružnici a sledujte velikosti vnitřních úhlů. Jaká je závislost mezi nimi? Svou odpověď zdůvodněte.

Součet protějších úhlů je úhel přímý. Vyplývá z věty o obvodových a středových úhlech na kružnici.

Poznámka: Tato vlastnost je důležitou vlastností tětivových čtyřúhelníků. Platí i obrácené tvrzení: pokud je součet protějších vnitřních úhlů čtyřúhelníka úhel přímý, pak je tento čtyřúhelník tětivový, tedy lze mu opsat kružnici.

Rys 14 - Tečnový čtyřúhelník

Je dána kružnice k a na ní čtyři body (na rysu vyznačeny červeně). Tyto body jsou dotykové body tečnového čtyřúhelníka ABCD, kterému je kružnice k vepsána.

otevři rys v CabriJava

Posouváním dotykových bodů po kružnici k měňte tvar tečnového čtyřúhelníka ABCD a zkuste (přibližně) vytvořit co nejvíce druhů čtyřúhelníků, které již znáte. Které to jsou?

Čtverec, kosočtverec a některé lichoběžníky.

Rys 15 - Tečnový čtyřúhelník - délky stran

Vycházíme z předchozího rysu. Navíc jsou zobrazeny délky jednotlivých stran.

otevři rys v CabriJava

Jako v předchozím rysu měňte tvar tečnového čtyřúhelníka ABCD. Sledujte, jak se mění délky jeho stran. Jaká je mezi nimi závislost? (nápověda: všimněte si délek protějších stran)

a + c = b + d.

Zdůvodněte tuto vlastnost s pomocí následujícího rysu. Stejnou barvou jsou označeny úsečky shodné délky.

otevři rys v CabriJava

Součet délek protějších stran je v obou případech "modrá + zelená + žlutá + červená".

Rys 16 - Součet vnitřních úhlů čtyřúhelníka

V části věnované lichoběžníkům bylo dokázáno, že součet vnitřních úhlů lichoběžníka je vždy 360°.

otevři rys v CabriJava

Nyní dokažte, že tato vlastnost platí i pro všechny konvexní čtyřúhelníky. Jako nápověda poslouží tento rys.

Každý konvexní čtyřúhelník lze rozdělit jednou z úhlopříček na dva trojúhelníky. Víme, že součet vnitřních úhlů každého z nich je 180°. Jak je z rysu patrné, součet vnitřních úhlů čtyřúhelníka je roven součtu vnitřních úhlů obou trojúhelníků, tedy 2*180° = 360°, c.b.d.

Rys 17 - Čtyřúhelníky se shodnými kolmými úhlopříčkami

Jsou dány dvě úsečky AC a BD stejné délky, vzájemně kolmé. Body A, B, C, D tvoří vrcholy čtyřúhelníka.

otevři rys v CabriJava

Měňte polohu bodů A, C a D (úsečky zůstávají shodné a vzájemně kolmé). Jaké typy čtyřúhelníků dokážete takto vytvořit ze čtyřúhelníku ABCD?

Libovolný čtverec, některé typy deltoidů, rovnoramenných lichoběžníků a různoběžníků, které maji shodné, vzájemně kolmé úhlopříčky.

Rys 18 - Osové symetrie čtyřúhelníků

Máme dán modrý (obecný) čtyřúhelník a přímku o. V osové symetrii podle této přímky je zkonstruován červený čtyřúhelník jako obraz modrého.

otevři rys v CabriJava

Měňte tvar a polohu modrého čtyřúhelníka tak, aby splynul s červeným. Pokuste se takto získat co nejvíce různých druhů čtyřúhelníků. Jaké to jsou? Podle čeho jsou symetrické?

Obdélník - podle os stran, čtverec - podle os stran a podle úhlopříček, kosočtverec - podle úhlopříček, rovnoramenný lichoběžník - podle osy základny, deltoid ("drak") - podle hlavní úhlopříčky.

Úloha 1

Máme dán lichoběžník ABCD (AB||CD), kde platí |AB| = 2*|CD|. Bod O je středem strany AB.

otevři rys v CabriJava

Dokažte, že trojúhelníky AOD, OBC a CDO jsou shodné.

Nápověda: OC || AD, OD || BC

* Úloha 2

Je dán rovnoběžník ABCD, K střed strany CD, L střed strany BC, polopřímky AK a AL.

otevři rys v CabriJava

Dokažte, že úhlopříčka BD je přímkami AK a AL rozdělena na tři stejně dlouhé části.

Nápověda: Použijte těžiště trojúhelníka ACD.

Úloha 3

Je dán tětivový šestiúhelník ABCDEF (všechny jeho vrcholy leží na jediné kružnici). Odlišíme dvě skupiny "nesousedících" úhlů - červeně vnitřní úhly u vrcholů A, C a E a zeleně vnitřní úhly u vrcholů B, D a F.

otevři rys v CabriJava

Dokažte, že součet velikostí "nesousedících" úhlů tětivového šestiúhelníka je 360°.

Nápověda: Tětivový šestiúhelník si pomyslně rozdělíme na dva tětivové čtyřúhelníky - např. ABEF a BCDE. Použijeme fakt, že součet protějších úhlů v tětivovém čtyřúhelníku je 180°.

*Úloha 4

Je dán lichoběžník ABCD. Průsečík jeho úhlopříček označíme S.

otevři rys v CabriJava

Dokažte, že obsahy trojúhelníků ASD a BCS jsou vždy shodné.

Nápověda: Rozdělte zelené trojúhelníky přímkou vedenou bodem S a rovnoběžnou se základnami lichoběžníka ABCD. "Horní" trojúhelníky mají shodný obsah, "dolní" také (shodné výšky a základny).


[ zpět ] [ nahoru ] [ titulní stránka ] Poslední úprava této stránky: 2004-02-02
Zoran Bonuš