Uvažujme X
, které má normální rozdělení se střední hodnotou
θ
a rozptylem 1. Příkladem robustního apriorního
rozdělení pro θ
je Cauchyho rozdělení. Vyjádřete
aposteriorní střední hodnotu a spočtěte ji Monte Carlo integrací
pro x=10
:
a) pomocí generování výběru z normálního rozdělení,
b) pomocí generování výběru z Cauchyho rozdělení.
Který způsob je přesnější?
MCintegrace.R
Pro X
s Cauchyho rozdělením je střední hodnota h(X)
rovna ∫ h(x)/(π(1+x2)) dx
.
Metodou importance sampling integrál aproximujeme součtem
(1/m) ∑ h(Xj)/(π(1+Xj2)g(Xj)),
kde Xj
je výběr z rozdělení s hustotou
g
.
Jako importance hustotu g
zvolte hustotu
a) Cauchyho rozdělení,
b) normovaného normálního rozdělení,
c) rovnoměrného rozdělení na [-10,10].
Proveďte výpočet pro h(x)=exp(-|x|/2)
a m=1000
.
Opakujte 500 krát a vykreslete histogramy spočtených hodnot. Porovnejte
se skutečnou hodnotou (přibližně 0.5478).
Která volba g
je rozumná a která není vhodná?