Cvičení z MCMC 17.10.2018


Domácí úlohy

  1. Napište funkci, jejímž vstupem bude kladné číslo (intenzita) a výstupem hodnota vygenerovaná z Poissonova rozdělení s danou intenzitou.
  2. Napište skript, který bude generovat náhodný výběr z normovaného normálního rozdělení zamítací metodou pomocí hustoty Cauchyho rozdělení. Vygenerujte výběr o rozsahu 1000 a vykreslete odpovídající histogram spolu s hustotou N(0,1). Jaká je pravděpodobnost přijetí návrhu?
poisson.R
normal_by_cauchy.R



Monte Carlo integrace

Uvažujme X, které má normální rozdělení se střední hodnotou θ a rozptylem 1. Příkladem robustního apriorního rozdělení pro θ je Cauchyho rozdělení. Vyjádřete aposteriorní střední hodnotu a spočtěte ji Monte Carlo integrací pro x=10:
a) pomocí generování výběru z normálního rozdělení,
b) pomocí generování výběru z Cauchyho rozdělení.
Který způsob je přesnější?

MCintegrace.R


Importance sampling

Pro X s Cauchyho rozdělením je střední hodnota h(X) rovna ∫ h(x)/(π(1+x2)) dx. Metodou importance sampling integrál aproximujeme součtem (1/m) ∑ h(Xj)/(π(1+Xj2)g(Xj)), kde Xj je výběr z rozdělení s hustotou g.

Jako importance hustotu g zvolte hustotu
a) Cauchyho rozdělení,
b) normovaného normálního rozdělení,
c) rovnoměrného rozdělení na [-10,10].

Proveďte výpočet pro h(x)=exp(-|x|/2) a m=1000. Opakujte 500 krát a vykreslete histogramy spočtených hodnot. Porovnejte se skutečnou hodnotou (přibližně 0.5478). Která volba g je rozumná a která není vhodná?

IS.R