Matematika pro fyziky I

(ZS 2012/13)

15. Stejnoměrná konvergence.

Posloupnost funkcí: bodová a stejnoměrná konvergence. Nevýhody bodové konvergence. Zachování spojitosti, záměna limity a integrálu při stejnoměrné konvergenci. Lokálně stejnoměrná konvergence. Lemma: ekvivalentní vyjádření stejnoměrné konvergence pomocí sigma_n; Heineho charakterizace stejnoměrné konvergence. p1 (2.října) ↵ Bolzano-Cauchyho podmínka stejnoměrné konvergence. Úplnost prostoru spojitých funkcí. Problém záměny pořadí limit. Moore-Osgoodova věta. p2 (3.října) ↵ Derivování a integrování člen po členu. Stejnoměrná konvergence řady: definice, nutná podmínka. Bolzano-Cauchyho podmínka stejnoměrné konvergence řady. Absolutně stejnoměrná konvergence. Absolutně stejnoměrná konvergence implikuje stejnoměrnou konvergenci. p3 (9.října) ↵ Weierstrassova věta. Stejnoměrná omezenost posloupnosti funkcí, stejnoměrná omezenost posloupnosti částečných součtů. Stejnoměrná verze Leibnizova a Dirichletova kritéria. p4 (10.října) ↵ Stejnoměrná verze Abelova kritéria. Zachování spojitosti při součtu řady, záměna sumy a integrálu, záměna sumy a derivace. Poznámky o zobecnění do metrických prostorů. Poznámky o stejnoměrné konvergenci mocninných řad.

16. Variační počet.

Základní úloha klasického variačního počtu. Příklady: minimální rotační plocha; maximální plocha pod křivkou dané délky. Funkcionál v normovaném prostoru: spojitost, Gâteauxův a Fréchetův diferenciál. p5 (16.října) ↵ Přítomnost extrému implikuje nulový diferenciál. Tvar Gâteauxova diferenciálu úlohy (U). Diracova funkce -- jak ji aproximovat. Nosič funkce. C^1 funkce na obecném intervalu. Shlazovací funkce. p6 (17.října) ↵ Lemma o slabé formulaci diferenciální rovnice. Euler-Lagrangeova rovnice funkcionálu. Extremála. Legendreova věta: nutná podmínka lokálního maxima/minima. Příklad: minimální rotační plocha. p7 (23.října) ↵ Jacobiho rovnice, konjugovaný bod. Jacobiho věta (bez důkazu). Variační úloha s vazbou, existence Lagrangeova multiplikátoru (bez důkazu). Příklad: plocha pod křivkou dané délky. p8 (24.října) ↵

17. Lebesgueova míra.

Sigma-algebra množin. Míra. Prostor s mírou. Měřitelné množiny. Příklady: počítačí míra, Diracova míra. Základní vlastnosti míry. Lebesgueovsky neměřitelná množina. Banach-Tarského paradox. Interval v R^n. Objem intervalu. Otevřený a uzavřený interval. Vnější Lebesgueova míra v R^n. Jednoduché vlastnosti: nezáporná, translačně a rotačně invariantní (náznak důkazu). p9 (30.října) ↵ Vnější míra je sigma-subaditivní. Lemma o konečném podpokrytí. Vnější míra intervalu je rovna objemu intervalu. Měřitelnost podle Carathéodoryho. Carathéodoryova věta: měřitelné množiny tvoří sigma-algebru a vnější míra je na nich sigma-aditivní. p10 (31.října) ↵ Dokončení důkazu Carathéodoryovy věty. Měřitelnost a míra intervalů. Další vlastnosti Lebesgueovy míry: otevřené a uzavřené množiny jsou měřitelné. Translační invariance. Rotační invariance (bez důkazu). p11 (6.listopadu) ↵ Nulové množiny. Pojem ,,skoro všude``.

18. Lebesgueův integrál.

Měřitelná funkce. Ekvivalentní vyjádření. Skoro všude spojitá funkce je měřitelná. Složení spojité a měřitelné funkce je měřitelné. Věta: zachování měřitelnosti při algebraických operacích, maximu, minimu, absolutní hodnotě, supremu, infimu, (bodové) limitě. p12 (7.listopadu) ↵ Charakteristická funkce množiny. Jednoduché funkce. Aproximace měřitelných funkcí jednoduchými funkcemi. Definice (abstraktního) Lebesgueova integrálu. Terminologie: integrál má smysl/konverguje; integrovatelné funkce. Nezávislost měřitelnosti/integrálu na rovnosti skoro všude a následné zobecnění definice. p13 (13.listopadu) ↵ Leviho věta. Princip aproximace integrálem jednoduchých funkcí zespoda. Vlastnosti Lebesgueova integrálu: linearita, monotonie; konečnost resp. nulovost integrandu skoro všude. p14 (14.listopadu) ↵ Lebesgueova věta o záměně limity a integrálu. Leviho věta pro řady. Lebesgueova věta pro řady. p15 (20.listopadu) ↵ Závislost integrálu na množině integrace. Výpočet Lebesgueova integrálu pomocí primitivní funkce. Poznámky ke vztahu Lebesgueova, Riemannova a Newtonova integrálu. Spojitá závislost integrálu na parametru. Podmínku o existenci integrovatelné majoranty nelze vynechat. p16 (21.listopadu) ↵ Příklady. Gamma funkce. Derivace integrálu podle parametru. Fubiniho věta (bez důkazu). p17 (27.listopadu) ↵ Difeomorfismus. Jakobián. Věta o substituci (bez důkazu).

19. Křivkový integrál.

Jednoduchá křivka, jednoduchá uzavřená křivka. Parametrizace, krajní body. Zobecněná křivka, přípustný rozklad. Křivkový integrál 1. druhu. p18 (28.listopadu) ↵ Lemma o reparametrizaci. Nezávislost na parametrizaci. Orientace jednoduché křivky, orientovaný rozklad zobecněné křivky. Parametrizace ve shodě s orientací. Dodatek k lemmatu o reparametrizaci. Integrál 2. druhu. Nezávislost na parametrizaci. Zobecněná křivka spojující body. Zobecněná uzavřená křivka. Křivkově souvislá množina. Oblast. p19 (4.prosince) ↵ Potenciál. Lemma o integrálu potenciálního pole. Důsledek: funkce s nulovým gradientem je konstantní. Nezávislost integrálu na cestě. Věta o potenciálu. Tečný vektor křivky. Věta o souvislosti integrálu prvního a druhého druhu. p20 (5.prosince) ↵

V rovině: normálový vektor. Divergence a rotace. Gaussova a Greenova věta. Jednoduše souvislá oblast. Vztah nulovosti rotace a existence potenciálu v R^2. p21 (11.prosince) ↵

20. Plošný integrál.

Jednoduchá plocha. Parametrizace. Okraj plochy. Příklady: sféra, graf C^1 funkce. Vnější součin vektorů v R^3, definice, základní vlastnosti, geometrický význam. Plošný integrál 1. druhu. Tečný prostor, normála, orientace jednoduché plochy. Plošný integrál 2. druhu. Zobecněná plocha, přípustný rozklad, orientovaný rozklad. Integrál přes zobecněnou plochu. p22 (12.prosince) ↵ Opakování pojmů: difeomorfismus, věta o inverzi, věta o substituci v R^k. Lemma o reparametrizaci a jeho důsledky: tečný prostor, normála nezávisí na parametrizaci. Poznámka, jak korektně zavést orientaci. Plošný integrál nezávisí na parametrizaci. p23 (18.prosince) ↵ Grammův determinant a jeho použití při výpočtu integrálu 1. druhu. Příklad: válcové souřadnice. Vztah plošného integrálu 1. a 2. druhu. Gaussova věta v R^3. p24 (19.prosince) ↵ Plocha s okrajem. Obíhání po okraji v kladném smyslu. Rotace a Stokesova věta v R^3. Jednoduše souvislá oblast. Existence potenciálu v R^3. p25 (2.ledna) ↵ Poznámky k existenci potenciálu v R^n.
Dodatky: Důsledky věty o divergenci: Greenovy formule. Limitní charakterizace divergence a laplaceova operátoru. Příklady na větu o substituci. Objem koule v R^n.