LINEÁRNÍ ALGEBRA

pro 1. ročník učitelského studia
2/2 Z, Zk        2/2 Z, Zk

1. Tělesa, pole, matice; příklady.

2. Vektorové prostory. Lineární kombinace, lineární obal, lineární závislost, množina generátorů, konečně a nekonečně generované prostory, báze, souřadnice, dimenze, věta o dimenzích spojení a průniku, lineární množiny; příklady.

3. Homomorfismy vektorových prostorů. Základní vlastnosti, speciální typy homomorfismů, věta o hodnosti a defektu; příklady.

4. Maticová reprezentace homomorfismů. Matice homomorfismu, skládání homomorfismů a násobení matic, matice přechodu, transformace souřadnic, hodnost matice, elementární transformační matice a elementární úpravy matic, převody matic na diagonální a odstupňovaný tvar, zjišťování hodnosti matice, výpočet inverzní matice, převody symetrických matic na diagonální tvar; příklady.

5. Soustavy lineárních rovnic. Řešitelnost, tvar množiny řešení, Gaussův eliminační algoritmus a jiné metody řešení; příklady.

6. Determinanty. Základní vlastnosti, determinant blokové matice, rozvoj determinantu, věta o násobení determinantů, adjungovaná matice, věta o inverzní matici, Cramerovo pravidlo, vyjádření hodnosti pomocí determinantů; metody výpočtu determinantů.

7. Podobnost matic. Charakteristická matice, charakteristický polynom, vlastní čísla a vlastní vektory, anulující polynom, minimální polynom, Cayley-Hamiltonova věta, podobnost matic, Jordanova buňka a Jordanova matice, diagonalizovatelnost, existence Jordanova kanonického tvaru a metody jeho nalezení, vlastní čísla reálné symetrické matice; příklady.

8. Lineární formy. Matice a analytické vyjádření lineární formy, duální prostor, duální báze; příklady.

9. Bilineární formy. Matice a analytické vyjádření bilineární formy, vrcholy forem, symetrické a antisymetrické formy, polární báze, kvadratické formy, formy na reálných prostorech, normální báze a normální tvar, zákon setrvačnosti, signatura, klasifikace forem; příklady.

10. Prostory se skalárním součinem. Norma, Cauchy-Schwarzova a trojúhelníková nerovnost, ortogonální a ortonormální báze, Gram-Schmidtův ortogonalizační proces, ortogonální transformace, ortogonální matice; příklady.

Literatura:
Bečvář, J.: Lineární algebra, Matfyzpress, Praha 2000, 435 stran.
Bečvář, J.: Vektorové prostory I., II., III., SPN, Praha 1978, 1980, 1982; 171, 199 a 191 stran.